与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \dots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \dots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

無限等比級数は、初項 $a$、公比 $r$ のとき、

$$a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots$$

で表されます。この級数が収束するための条件は、

$|r| < 1$

です。

与えられた級数は、初項 $a = 1$、公比 $r = -\frac{x-1}{3}$ の無限等比級数です。

したがって、収束条件は、

$$\left| -\frac{x-1}{3} \right| < 1$$

絶対値を外すと、

$$-1 < -\frac{x-1}{3} < 1$$

各辺に $-3$ をかけると、不等号の向きが変わるので、

$$3 > x-1 > -3$$

各辺に $1$ を加えると、

$$4 > x > -2$$

したがって、$x$ の範囲は $-2 < x < 4$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 < x < 4$