関数 $y = \frac{x^2}{(2x-1)^3}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2}{(2x-1)^3}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているため、商の微分公式を使用します。商の微分公式は以下の通りです。

$\qquad (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = x^2$、$v = (2x-1)^3$ とします。

まず、$u$ の微分を計算します。

$\qquad u' = (x^2)' = 2x$

次に、$v$ の微分を計算します。これは合成関数の微分となるので、連鎖律（チェーンルール）を使います。

$\qquad v' = ((2x-1)^3)' = 3(2x-1)^2 \cdot (2x-1)' = 3(2x-1)^2 \cdot 2 = 6(2x-1)^2$

これで、$u$, $v$, $u'$, $v'$ が全て計算できたので、商の微分公式に代入します。

$\qquad y' = \frac{2x(2x-1)^3 - x^2 \cdot 6(2x-1)^2}{((2x-1)^3)^2}$

式を整理します。まず分子で $(2x-1)^2$ でくくります。

$\qquad y' = \frac{(2x-1)^2 [2x(2x-1) - 6x^2]}{(2x-1)^6}$

次に、分子の括弧内を計算します。

$\qquad y' = \frac{(2x-1)^2 (4x^2 - 2x - 6x^2)}{(2x-1)^6}$

$\qquad y' = \frac{(2x-1)^2 (-2x^2 - 2x)}{(2x-1)^6}$

さらに、分子と分母で $(2x-1)^2$ を約分します。

$\qquad y' = \frac{-2x^2 - 2x}{(2x-1)^4}$

最後に、分子から $-2x$ をくくりだします。

$\qquad y' = \frac{-2x(x + 1)}{(2x-1)^4}$

3. 最終的な答え

$\qquad y' = \frac{-2x(x + 1)}{(2x-1)^4}$