関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、関数を指数を用いて書き換えます。

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} = (2x+1)^{-\frac{1}{2}}$$

次に、合成関数の微分公式（チェーンルール）を使います。

$u = 2x+1$ とおくと、 $f(x) = u^{-\frac{1}{2}}$ となります。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{df}{du} = -\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{du}{dx} = 2$

したがって、

$\frac{df}{dx} = -\frac{1}{2}(2x+1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2 = -(2x+1)^{-\frac{3}{2}}$

これを整理すると、

$\frac{df}{dx} = -\frac{1}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^3}}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}}$ または $-\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^3}}$