関数 $y = \log_2 x$ の定義域が $\frac{1}{2} < x \leq 3$ であるときの、値域を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_2 x$ の定義域が $\frac{1}{2} < x \leq 3$ であるときの、値域を求めよ。

2. 解き方の手順

$y = \log_2 x$ は単調増加関数なので、定義域の両端の $x$ の値における $y$ の値を計算し、それらを用いて値域を決定する。

まず、$x = \frac{1}{2}$ のとき、

$y = \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 2^{-1} = -1$

次に、$x = 3$ のとき、

$y = \log_2 3$

$x$ が $\frac{1}{2} < x \leq 3$ の範囲を動くとき、$y$ は $-1 < y \leq \log_2 3$ の範囲を動く。

したがって、求める値域は $-1 < y \leq \log_2 3$ となる。

3. 最終的な答え

$-1 < y \leq \log_2 3$