関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ の定義域が $\frac{1}{4} \le x < 8$ であるときの値域を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ の定義域が $\frac{1}{4} \le x < 8$ であるときの値域を求めます。

2. 解き方の手順

対数関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ は底が $\frac{1}{2}$ であり、これは $0 < \frac{1}{2} < 1$ を満たすため、減少関数です。つまり、$x$ が増加すると $y$ は減少します。

したがって、定義域の端点の値を代入することで、値域の端点を求めることができます。

まず、$x = \frac{1}{4}$ のとき

$y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^2 = 2$

次に、$x = 8$ のとき

$y = \log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{-3} = -3$

$x$ の範囲は $\frac{1}{4} \le x < 8$ であるため、$y$ の範囲は $-3 < y \le 2$ となります。

3. 最終的な答え

$-3 < y \le 2$