関数 $y = x \cos 2x$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x \cos 2x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = x \cos 2x$ を微分するには、積の微分法と合成関数の微分法を使用します。

積の微分法は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が次のようになることを示します。

$$(uv)' = u'v + uv'$$

この問題では、$u(x) = x$、 $v(x) = \cos 2x$ とします。

まず、$u(x)$ の微分を求めます。

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$$

次に、$v(x)$ の微分を求めます。$\cos 2x$ は合成関数なので、合成関数の微分法を使用します。

$$\frac{d}{dx} \cos 2x = -\sin 2x \cdot \frac{d}{dx}(2x) = -\sin 2x \cdot 2 = -2\sin 2x$$

したがって、$v'(x) = -2\sin 2x$ となります。

積の微分法を適用して、$y$ の微分を求めます。

$$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \cos 2x + x \cdot (-2\sin 2x)$$

$$y' = \cos 2x - 2x\sin 2x$$

3. 最終的な答え

$$\cos 2x - 2x \sin 2x$$