関数 $y = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ を微分します。

まず、関数を次のように書き換えます。

$y = \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^{\frac{1}{2}}$

合成関数の微分と商の微分法を使用します。

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^{\frac{1}{2}}$

まず、$u = \frac{1-x}{1+x}$ とおくと、$y = u^{\frac{1}{2}}$です。

連鎖律により、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{u}} = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}$

次に、$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$ を計算します。商の微分法を用います。

$\frac{du}{dx} = \frac{(1-x)'(1+x) - (1-x)(1+x)'}{(1+x)^2} = \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{-1 - x - 1 + x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2} = \frac{-1}{(1+x)^2 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{(1+x)^2 \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}} = \frac{-1}{(1+x)^{\frac{3}{2}} \sqrt{1-x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{(1+x)^3 (1-x)}} = \frac{-1}{\sqrt{(1+x)^2 (1+x)(1-x)}} = \frac{-1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$

あるいは

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{(1+x)^3 (1-x)}}$

など。