関数 $f(x) = |x| + |x-1| + |x-2|$ の $-1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x| + |x-1| + |x-2|$ の $-1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

絶対値記号の中身の符号が変わる点で場合分けを行います。

(i) $-1 \le x < 0$ のとき

$f(x) = -x - (x-1) - (x-2) = -3x + 3$

この範囲で $x = -1$ のとき最大値 $f(-1) = -3(-1) + 3 = 6$ をとり、$x = 0$ のとき $f(0) = 3$ に近づきます。

(ii) $0 \le x < 1$ のとき

$f(x) = x - (x-1) - (x-2) = -x + 3$

この範囲で $x = 0$ のとき最大値 $f(0) = 3$ をとり、$x = 1$ のとき $f(1) = 2$ に近づきます。

(iii) $1 \le x < 2$ のとき

$f(x) = x + (x-1) - (x-2) = x + 1$

この範囲で $x = 1$ のとき最小値 $f(1) = 2$ をとり、$x = 2$ のとき $f(2) = 3$ に近づきます。

(iv) $2 \le x \le 3$ のとき

$f(x) = x + (x-1) + (x-2) = 3x - 3$

この範囲で $x = 2$ のとき最小値 $f(2) = 3$ をとり、$x = 3$ のとき最大値 $f(3) = 3(3) - 3 = 6$ をとります。

上記の場合分けから、

$x = -1$ のとき $f(-1) = 6$

$x = 0$ のとき $f(0) = 3$

$x = 1$ のとき $f(1) = 2$

$x = 2$ のとき $f(2) = 3$

$x = 3$ のとき $f(3) = 6$

したがって、最大値は6, 最小値は2となります。

3. 最終的な答え

最大値 6, 最小値 2

選択肢1が正解です。