関数 $f(x)$ が積分を含む式 $f(x) = 2x + \int_{0}^{1} x f(t) dt$ で定義されているとき、$f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が積分を含む式 $f(x) = 2x + \int_{0}^{1} x f(t) dt$ で定義されているとき、$f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式は、

$$f(x) = 2x + \int_{0}^{1} x f(t) dt$$

と書けます。積分記号の中の $x$ は $t$ に関する積分なので、積分の外に出すことができます。

$$f(x) = 2x + x \int_{0}^{1} f(t) dt$$

ここで、$\int_{0}^{1} f(t) dt$ は定数なので、$A = \int_{0}^{1} f(t) dt$ と置くと、

$$f(x) = 2x + Ax$$

$$f(x) = (2+A)x$$

この式を元の $A$ の定義式に代入します。

$$A = \int_{0}^{1} f(t) dt = \int_{0}^{1} (2+A)t dt$$

$$A = (2+A) \int_{0}^{1} t dt = (2+A) \left[ \frac{1}{2} t^2 \right]_{0}^{1}$$

$$A = (2+A) \cdot \frac{1}{2}$$

$$A = 1 + \frac{1}{2} A$$

$$2A = 2 + A$$

$$A = 2$$

したがって、$f(x) = (2+A)x = (2+2)x = 4x$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = 4x$