与えられた関数 $a^x$ (ただし $a$ は正の定数) と $\tan x$ をマクローリン展開し、$x^3$ の項まで求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $a^x$ (ただし $a$ は正の定数) と $\tan x$ をマクローリン展開し、$x^3$ の項まで求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = a^x$ のマクローリン展開

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開である。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

$f(x) = a^x$ より、

$f(0) = a^0 = 1$

$f'(x) = a^x \ln a$ より、 $f'(0) = \ln a$

$f''(x) = a^x (\ln a)^2$ より、 $f''(0) = (\ln a)^2$

$f'''(x) = a^x (\ln a)^3$ より、 $f'''(0) = (\ln a)^3$

よって、$a^x = 1 + (\ln a) x + \frac{(\ln a)^2}{2}x^2 + \frac{(\ln a)^3}{6}x^3 + \cdots$

(2) $f(x) = \tan x$ のマクローリン展開

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であり、$\sin x$ と $\cos x$ のマクローリン展開は知られている。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\tan x = \frac{x - \frac{x^3}{6} + \cdots}{1 - \frac{x^2}{2} + \cdots}$

$= (x - \frac{x^3}{6} + \cdots)(1 - \frac{x^2}{2} + \cdots)^{-1}$

$= (x - \frac{x^3}{6} + \cdots)(1 + \frac{x^2}{2} + (\frac{x^2}{2})^2 + \cdots)$

$= x + \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + \cdots$

$= x + \frac{1}{3}x^3 + \cdots$

または、

$f(x) = \tan x$ より、

$f(0) = \tan 0 = 0$

$f'(x) = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ より、$f'(0) = 1$

$f''(x) = 2 \tan x \sec^2 x = 2 \tan x (1+\tan^2 x)$ より、$f''(0) = 0$

$f'''(x) = 2 \sec^4 x + 4 \tan^2 x \sec^2 x = 2(1+\tan^2 x)^2 + 4\tan^2 x (1+\tan^2 x) = 2 + 8 \tan^2 x + 6 \tan^4 x$ より、$f'''(0) = 2$

よって、$\tan x = x + \frac{2}{3!}x^3 + \cdots = x + \frac{1}{3}x^3 + \cdots$

3. 最終的な答え

(1) $a^x = 1 + (\ln a) x + \frac{(\ln a)^2}{2}x^2 + \frac{(\ln a)^3}{6}x^3$

(2) $\tan x = x + \frac{1}{3}x^3$