次の広義積分の収束、発散を調べます。 (1) $\int_{1}^{\infty} \frac{\sin x}{x^2} dx$ (2) $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{x^2 + 1} dx$

1. 問題の内容

次の広義積分の収束、発散を調べます。

(1) $\int_{1}^{\infty} \frac{\sin x}{x^2} dx$

(2) $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{x^2 + 1} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$\int_{1}^{\infty} \frac{\sin x}{x^2} dx$の収束を調べます。

まず、$|\sin x| \leq 1$であることに注意します。したがって、

$|\frac{\sin x}{x^2}| \leq \frac{1}{x^2}$

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$を計算します。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{t \to \infty} [-\frac{1}{x}]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} (-\frac{1}{t} - (-1)) = \lim_{t \to \infty} (1 - \frac{1}{t}) = 1$

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$は収束するので、比較定理より、$\int_{1}^{\infty} |\frac{\sin x}{x^2}| dx$も収束します。よって、$\int_{1}^{\infty} \frac{\sin x}{x^2} dx$は絶対収束し、したがって収束します。

(2)

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{x^2 + 1} dx$の収束を調べます。

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{x^2 + 1} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{x}{x^2 + 1} dx$

ここで、$u = x^2 + 1$とおくと、$du = 2x dx$より、$x dx = \frac{1}{2} du$

$x=0$のとき、$u=1$、$x=t$のとき、$u=t^2+1$

$\int_{0}^{t} \frac{x}{x^2 + 1} dx = \int_{1}^{t^2+1} \frac{1}{2u} du = \frac{1}{2} [\ln u]_{1}^{t^2+1} = \frac{1}{2} (\ln(t^2+1) - \ln 1) = \frac{1}{2} \ln(t^2+1)$

$\lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{x}{x^2 + 1} dx = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \ln(t^2+1) = \infty$

したがって、$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{x^2 + 1} dx$は発散します。

3. 最終的な答え

(1) 収束

(2) 発散