関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 1$ がある。曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(0, -1)$ における接線を $l$ とする。 (1) $f'(0)$ の値を求め、接線 $l$ の方程式を求める。 (2) 関数 $f(x)$ の増減、極値を調べ、$y = f(x)$ のグラフを描く。 (3) 関数 $f(x)$ の極大値を $a$ とする。直線 $y = a$ と曲線 $y = f(x)$ で囲まれた部分のうち、$y$ 軸の左側の部分の面積を $S_1$ とする。また、曲線 $y = f(x)$ と接線 $l$ で囲まれた部分の面積を $S_2$ とする。$\frac{S_2}{S_1}$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 1$ がある。曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(0, -1)$ における接線を $l$ とする。

(1) $f'(0)$ の値を求め、接線 $l$ の方程式を求める。

(2) 関数 $f(x)$ の増減、極値を調べ、$y = f(x)$ のグラフを描く。

(3) 関数 $f(x)$ の極大値を $a$ とする。直線 $y = a$ と曲線 $y = f(x)$ で囲まれた部分のうち、$y$ 軸の左側の部分の面積を $S_1$ とする。また、曲線 $y = f(x)$ と接線 $l$ で囲まれた部分の面積を $S_2$ とする。$\frac{S_2}{S_1}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x)$ を求め、$f'(0)$ を計算する。接線 $l$ の方程式は、$y - (-1) = f'(0)(x - 0)$ で求められる。

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求め、増減表を作成する。増減表から極大値、極小値を求める。グラフは極値、切片などを参考に描く。

(3) 極大値 $a$ を求める。$y = a$ と $y = f(x)$ の交点を求める。$S_1$ は定積分で計算する。次に、$y = f(x)$ と接線 $l$ の交点を求め、$S_2$ を定積分で計算する。最後に $\frac{S_2}{S_1}$ を計算する。

(1)

$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 1$

$f'(x) = x^2 + 2x - 3$

$f'(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$

接線 $l$ の方程式は、

$y - (-1) = -3(x - 0)$

$y + 1 = -3x$

$y = -3x - 1$

(2)

$f'(x) = x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = -3, 1$

増減表は以下のようになる。

x | ... | -3 | ... | 1 | ...

---|---|---|---|---|---

f'(x) | + | 0 | - | 0 | +

f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加

$f(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) - 1 = -9 + 9 + 9 - 1 = 8$ (極大値)

$f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) - 1 = \frac{1}{3} + 1 - 3 - 1 = \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3}$ (極小値)

(3)

極大値 $a = 8$

$y = 8$ と $y = f(x)$ の交点を求める。

$\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 1 = 8$

$\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 9 = 0$

$x^3 + 3x^2 - 9x - 27 = 0$

$(x+3)(x^2 - 9) = 0$

$(x+3)(x+3)(x-3) = 0$

$(x+3)^2(x-3) = 0$

$x = -3, 3$

$x = -3$ は重解

$S_1 = \int_{-3}^0 (8 - (\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 1)) dx$

$S_1 = \int_{-3}^0 (9 - \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x) dx$

$S_1 = [9x - \frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2]_{-3}^0$

$S_1 = 0 - (9(-3) - \frac{1}{12}(-3)^4 - \frac{1}{3}(-3)^3 + \frac{3}{2}(-3)^2)$

$S_1 = -(-27 - \frac{81}{12} + 9 + \frac{27}{2})$

$S_1 = 18 + \frac{27}{4} - \frac{54}{4} = 18 - \frac{27}{4} = \frac{72 - 27}{4} = \frac{45}{4}$

$y = f(x)$ と $l: y = -3x - 1$ の交点を求める。

$\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 1 = -3x - 1$

$\frac{1}{3}x^3 + x^2 = 0$

$x^3 + 3x^2 = 0$

$x^2(x+3) = 0$

$x = 0, -3$

$x = 0$ は重解

$S_2 = \int_{-3}^0 ((\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 1) - (-3x - 1)) dx$

$S_2 = \int_{-3}^0 (\frac{1}{3}x^3 + x^2) dx$

$S_2 = [\frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{3}x^3]_{-3}^0$

$S_2 = 0 - (\frac{1}{12}(-3)^4 + \frac{1}{3}(-3)^3)$

$S_2 = -(\frac{81}{12} - 9) = -(\frac{27}{4} - \frac{36}{4}) = \frac{9}{4}$

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{45}{4}} = \frac{9}{45} = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{5}$