ロピタルの定理を用いて、次の二つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(e^x+1) - \frac{1}{2}x - \log 2}{e^x - x - 1}$

1. 問題の内容

ロピタルの定理を用いて、次の二つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(e^x+1) - \frac{1}{2}x - \log 2}{e^x - x - 1}$

2. 解き方の手順

(1) の場合：

$x \to 0$ のとき、$\sin^{-1} x \to 0$ かつ $x \to 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

$\sin^{-1} x$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ であり、$x$ の微分は 1 です。

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$x \to 0$ のとき、$1-x^2 \to 1$ なので、$\sqrt{1-x^2} \to 1$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{1} = 1$

(2) の場合：

$x \to 0$ のとき、$\log(e^x+1) \to \log(2)$ 、$\frac{1}{2}x \to 0$ なので、分子は $\log 2 - 0 - \log 2 = 0$ となります。

また、$x \to 0$ のとき、$e^x \to 1$ なので、分母は $1 - 0 - 1 = 0$ となります。

したがって、$\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

分子の微分は $\frac{e^x}{e^x+1} - \frac{1}{2}$ です。

分母の微分は $e^x - 1$ です。

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(e^x+1) - \frac{1}{2}x - \log 2}{e^x - x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^x}{e^x+1} - \frac{1}{2}}{e^x - 1}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{e^x}{e^x+1} \to \frac{1}{2}$ なので、分子は $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ となります。

$x \to 0$ のとき、$e^x \to 1$ なので、分母は $1 - 1 = 0$ となります。

再度 $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

分子の微分は $\frac{e^x(e^x+1) - e^x \cdot e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{e^x}{(e^x+1)^2}$ です。

分母の微分は $e^x$ です。

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^x}{e^x+1} - \frac{1}{2}}{e^x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^x}{(e^x+1)^2}}{e^x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{(e^x+1)^2}$

$x \to 0$ のとき、$e^x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{(e^x+1)^2} = \frac{1}{(1+1)^2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{1}{4}$