方程式 $x^2y - \sqrt{x + y^5} = 7$ で表される曲線上の点 $(3, 1)$ における接線の傾き $\frac{dy}{dx}$ を求める。

1. 問題の内容

方程式 $x^2y - \sqrt{x + y^5} = 7$ で表される曲線上の点 $(3, 1)$ における接線の傾き $\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

陰関数微分を用いて $\frac{dy}{dx}$ を求める。

まず、与えられた方程式の両辺を $x$ で微分する。

$\frac{d}{dx}(x^2y - \sqrt{x + y^5}) = \frac{d}{dx}(7)$

積の微分と合成関数の微分を用いる。

$\frac{d}{dx}(x^2y) = 2xy + x^2\frac{dy}{dx}$

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x + y^5}) = \frac{1}{2\sqrt{x + y^5}}\frac{d}{dx}(x + y^5) = \frac{1}{2\sqrt{x + y^5}}(1 + 5y^4\frac{dy}{dx})$

よって、方程式を微分すると

$2xy + x^2\frac{dy}{dx} - \frac{1}{2\sqrt{x + y^5}}(1 + 5y^4\frac{dy}{dx}) = 0$

$\frac{dy}{dx}$ について解くために、まず $\frac{dy}{dx}$ を含む項と含まない項を分ける。

$x^2\frac{dy}{dx} - \frac{5y^4}{2\sqrt{x + y^5}}\frac{dy}{dx} = -2xy + \frac{1}{2\sqrt{x + y^5}}$

$\frac{dy}{dx}(x^2 - \frac{5y^4}{2\sqrt{x + y^5}}) = -2xy + \frac{1}{2\sqrt{x + y^5}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy + \frac{1}{2\sqrt{x + y^5}}}{x^2 - \frac{5y^4}{2\sqrt{x + y^5}}}$

点 $(3, 1)$ における接線の傾きを求めるので、$x = 3$、$y = 1$ を代入する。

$\frac{dy}{dx}\Big|_{(3, 1)} = \frac{-2(3)(1) + \frac{1}{2\sqrt{3 + 1^5}}}{3^2 - \frac{5(1)^4}{2\sqrt{3 + 1^5}}}$

$\frac{dy}{dx}\Big|_{(3, 1)} = \frac{-6 + \frac{1}{2\sqrt{4}}}{9 - \frac{5}{2\sqrt{4}}}$

$\frac{dy}{dx}\Big|_{(3, 1)} = \frac{-6 + \frac{1}{4}}{9 - \frac{5}{4}}$

$\frac{dy}{dx}\Big|_{(3, 1)} = \frac{-\frac{24}{4} + \frac{1}{4}}{\frac{36}{4} - \frac{5}{4}}$

$\frac{dy}{dx}\Big|_{(3, 1)} = \frac{-\frac{23}{4}}{\frac{31}{4}}$

$\frac{dy}{dx}\Big|_{(3, 1)} = -\frac{23}{31}$

3. 最終的な答え

$-\frac{23}{31}$