問題45の(1)と(2)を解きます。 (1) 放物線 $y = x^2 - 3x + 2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。 (2) 2つの放物線 $y = x^2 - 2x - 4$ と $y = -x^2 - 4x$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

問題45の(1)と(2)を解きます。

(1) 放物線 $y = x^2 - 3x + 2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

(2) 2つの放物線 $y = x^2 - 2x - 4$ と $y = -x^2 - 4x$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2 - 3x + 2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$

まず、$x^2 - 3x + 2 = 0$ を解いて、放物線と $x$ 軸との交点を求めます。

$(x-1)(x-2) = 0$ より、$x = 1, 2$ が交点の $x$ 座標です。

$1 \le x \le 2$ において、$y = x^2 - 3x + 2 \le 0$ なので、面積 $S$ は次のように計算できます。

$S = -\int_{1}^{2} (x^2 - 3x + 2) \, dx$

$S = -\left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_{1}^{2}$

$S = -\left[ (\frac{8}{3} - 6 + 4) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) \right]$

$S = -\left[ (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{2 - 9 + 12}{6}) \right]$

$S = -\left[ \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \right]$

$S = -\left[ \frac{4 - 5}{6} \right] = \frac{1}{6}$

(2) 2つの放物線 $y = x^2 - 2x - 4$ と $y = -x^2 - 4x$ で囲まれた図形の面積 $S$

まず、$x^2 - 2x - 4 = -x^2 - 4x$ を解いて、2つの放物線の交点を求めます。

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x + 2)(x - 1) = 0$

より、$x = -2, 1$ が交点の $x$ 座標です。

$-2 \le x \le 1$ において、$y = -x^2 - 4x$ が $y = x^2 - 2x - 4$ より上にあるので、面積 $S$ は次のように計算できます。

$S = \int_{-2}^{1} ((-x^2 - 4x) - (x^2 - 2x - 4)) \, dx$

$S = \int_{-2}^{1} (-2x^2 - 2x + 4) \, dx$

$S = \left[ -\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 4x \right]_{-2}^{1}$

$S = \left[ (-\frac{2}{3} - 1 + 4) - (\frac{16}{3} - 4 - 8) \right]$

$S = \left[ 3 - \frac{2}{3} - (\frac{16}{3} - 12) \right]$

$S = \left[ \frac{9 - 2}{3} - \frac{16 - 36}{3} \right]$

$S = \left[ \frac{7}{3} - (-\frac{20}{3}) \right]$

$S = \frac{27}{3} = 9$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{1}{6}$

(2) $S = 9$