$a > 0$ のとき、$f(x) = \sqrt{2(x+1)}$ とする。曲線 $y = f(x)$ 上の点 $P(\frac{a^2}{2} - 1, a)$ を通る法線を $l$ とする。また、$l$ 上に点 $Q(s, t)$ があり、$PQ = 1$ かつ $t < a$ を満たす。 (1) $f'(x)$ と法線 $l$ の方程式を求める。 (2) $s$ と $t$ を $a$ を用いて表し、$\lim_{a \to +0} s$ を求める。 (3) $n$ を $0$ 以上の整数とする。$\lim_{a \to +0} \frac{t}{a^n}$ が収束するような $n$ の値を全て求め、その極限値を求める。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、$f(x) = \sqrt{2(x+1)}$ とする。曲線 $y = f(x)$ 上の点 $P(\frac{a^2}{2} - 1, a)$ を通る法線を $l$ とする。また、$l$ 上に点 $Q(s, t)$ があり、$PQ = 1$ かつ $t < a$ を満たす。

(1) $f'(x)$ と法線 $l$ の方程式を求める。

(2) $s$ と $t$ を $a$ を用いて表し、$\lim_{a \to +0} s$ を求める。

(3) $n$ を $0$ 以上の整数とする。$\lim_{a \to +0} \frac{t}{a^n}$ が収束するような $n$ の値を全て求め、その極限値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f'(x)$ を求める。

$f(x) = \sqrt{2(x+1)} = \sqrt{2} (x+1)^{1/2}$

$f'(x) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} (x+1)^{-1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x+1}} = \frac{1}{\sqrt{2(x+1)}}$

次に、点 $P$ における $f'(x)$ の値を求める。

$f'(\frac{a^2}{2} - 1) = \frac{1}{\sqrt{2(\frac{a^2}{2} - 1 + 1)}} = \frac{1}{\sqrt{a^2}} = \frac{1}{|a|} = \frac{1}{a}$ ($a > 0$ より)

点 $P$ における法線の傾き $m$ は、$m = - \frac{1}{f'(\frac{a^2}{2} - 1)} = -a$

法線 $l$ の方程式は、

$y - a = -a (x - (\frac{a^2}{2} - 1))$

$y = -ax + a(\frac{a^2}{2} - 1) + a$

$y = -ax + \frac{a^3}{2}$

(2)

点 $Q(s, t)$ は法線 $l$ 上にあるので、$t = -as + \frac{a^3}{2}$

また、$PQ = 1$ であるから、$(s - (\frac{a^2}{2} - 1))^2 + (t - a)^2 = 1$

$(s - \frac{a^2}{2} + 1)^2 + (-as + \frac{a^3}{2} - a)^2 = 1$

$(s - \frac{a^2}{2} + 1)^2 + (a(s - \frac{a^2}{2} + 1))^2 = 1$

$(s - \frac{a^2}{2} + 1)^2 (1 + a^2) = 1$

$(s - \frac{a^2}{2} + 1)^2 = \frac{1}{1+a^2}$

$s - \frac{a^2}{2} + 1 = \pm \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$

$s = \frac{a^2}{2} - 1 \pm \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$

$t < a$ であるから、$s = \frac{a^2}{2} - 1 + \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$ を採用する。なぜなら、$s=\frac{a^2}{2}-1 - \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$だと、$t = -a(\frac{a^2}{2}-1 - \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}) + \frac{a^3}{2} = -a^3+a+\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}>a$となるから条件を満たさない。

$s = \frac{a^2}{2} - 1 + (1+a^2)^{-1/2} = \frac{a^2}{2} - 1 + (1 - \frac{1}{2}a^2 + O(a^4))$

$s = \frac{a^2}{2} - 1 + 1 - \frac{1}{2}a^2 + O(a^4) = O(a^4)$

$\lim_{a \to +0} s = -1 + \lim_{a \to +0} (\frac{a^2}{2} + \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}) = -1 + \frac{0}{2} + \frac{1}{\sqrt{1+0}} = -1+1 = 0$

$\lim_{a \to +0} s = 0$

$t = -as + \frac{a^3}{2} = -a(\frac{a^2}{2} - 1 + \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}) + \frac{a^3}{2} = -\frac{a^3}{2} + a - \frac{a}{\sqrt{1+a^2}} + \frac{a^3}{2} = a - \frac{a}{\sqrt{1+a^2}} = a(1 - (1+a^2)^{-1/2}) = a(1 - (1 - \frac{1}{2}a^2 + O(a^4)) = a(\frac{a^2}{2} + O(a^4)) = \frac{a^3}{2} + O(a^5)$

(3)

$\lim_{a \to +0} \frac{t}{a^n} = \lim_{a \to +0} \frac{\frac{a^3}{2}}{a^n} = \lim_{a \to +0} \frac{1}{2} a^{3-n}$

これが収束するためには、$3 - n \ge 0$ である必要がある。したがって、$n \le 3$ である。$n$ は非負の整数なので、$n = 0, 1, 2, 3$

$n = 0$ のとき、$\lim_{a \to +0} \frac{t}{a^0} = \lim_{a \to +0} t = 0$

$n = 1$ のとき、$\lim_{a \to +0} \frac{t}{a^1} = \lim_{a \to +0} \frac{t}{a} = \lim_{a \to +0} \frac{a^3/2}{a} = \lim_{a \to +0} \frac{a^2}{2} = 0$

$n = 2$ のとき、$\lim_{a \to +0} \frac{t}{a^2} = \lim_{a \to +0} \frac{a^3/2}{a^2} = \lim_{a \to +0} \frac{a}{2} = 0$

$n = 3$ のとき、$\lim_{a \to +0} \frac{t}{a^3} = \lim_{a \to +0} \frac{a^3/2}{a^3} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2(x+1)}}$, 法線 $l$: $y = -ax + \frac{a^3}{2}$

(2) $s = \frac{a^2}{2} - 1 + \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$, $t = a - \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$, $\lim_{a \to +0} s = 0$

(3) $n = 0, 1, 2, 3$ で、それぞれの極限値は、$0, 0, 0, \frac{1}{2}$