関数 $f(x) = \frac{\log x}{x^a}$ (ただし、$a$ は実定数) について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $f(x)$ が区間 $(0, 1]$ で広義積分可能となる $a$ の範囲を求め、可能な場合に広義積分 $\int_0^1 f(x)dx$ の値を求めます。 (2) 関数 $f(x)$ が区間 $[1, \infty)$ で広義積分可能となる $a$ の範囲を求め、可能な場合に広義積分 $\int_1^\infty f(x)dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\log x}{x^a}$ (ただし、$a$ は実定数) について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $f(x)$ が区間 $(0, 1]$ で広義積分可能となる $a$ の範囲を求め、可能な場合に広義積分 $\int_0^1 f(x)dx$ の値を求めます。

(2) 関数 $f(x)$ が区間 $[1, \infty)$ で広義積分可能となる $a$ の範囲を求め、可能な場合に広義積分 $\int_1^\infty f(x)dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 区間 $(0, 1]$ での広義積分可能性

$x \to 0$ での $f(x)$ の振る舞いを調べます。

$x = e^{-t}$ と変数変換すると、$x \to 0$ のとき $t \to \infty$ となります。

$f(x) = \frac{\log x}{x^a} = \frac{-t}{e^{-at}} = -te^{at}$

$\int_0^1 \frac{\log x}{x^a} dx = \int_{\infty}^0 \frac{-t}{e^{-at}}(-e^{-t})dt = -\int_0^\infty te^{(a-1)t} dt$

$a-1 > 0$ つまり $a>1$ のとき、$t \to \infty$ で $te^{(a-1)t} \to \infty$ となり積分は発散します。

$a=1$ のとき、$\int_0^1 \frac{\log x}{x} dx = \int_{\infty}^0 -t e^{-t} (-e^{-t}) dt = -\int_0^{\infty} t dt$となり積分は発散します。

$a < 1$ のとき、部分積分を用いて積分を評価します。

$\int \frac{\log x}{x^a} dx = \int x^{-a} \log x dx = \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \int \frac{x^{1-a}}{1-a} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{1}{1-a} \int x^{-a} dx = \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{1}{(1-a)^2} x^{1-a} + C$

$\int_0^1 \frac{\log x}{x^a} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^1 \frac{\log x}{x^a} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{x^{1-a}}{(1-a)^2} \right]_{\epsilon}^1 = \left[ 0 - \frac{1}{(1-a)^2} \right] - \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \frac{\epsilon^{1-a}}{1-a} \log \epsilon - \frac{\epsilon^{1-a}}{(1-a)^2} \right]$

$a<1$ のとき、$1-a>0$ なので、$\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon^{1-a} = 0$。また、$\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon^{1-a} \log \epsilon = 0$。

したがって、$\int_0^1 \frac{\log x}{x^a} dx = -\frac{1}{(1-a)^2}$

(2) 区間 $[1, \infty)$ での広義積分可能性

$x \to \infty$ での $f(x)$ の振る舞いを調べます。

$a=1$ のとき、$\int_1^{\infty} \frac{\log x}{x} dx = \left[ \frac{(\log x)^2}{2} \right]_1^{\infty} = \infty$ となり積分は発散します。

$a \neq 1$ のとき、$\int_1^{\infty} \frac{\log x}{x^a} dx = \lim_{R \to \infty} \left[ \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{x^{1-a}}{(1-a)^2} \right]_1^R = \lim_{R \to \infty} \left[ \frac{R^{1-a}}{1-a} \log R - \frac{R^{1-a}}{(1-a)^2} \right] - \left[ 0 - \frac{1}{(1-a)^2} \right]$

$1-a > 0$ つまり $a < 1$ のとき、$R \to \infty$ で $R^{1-a} \to \infty$ かつ $\log R \to \infty$ なので積分は発散します。

$1-a < 0$ つまり $a > 1$ のとき、$R \to \infty$ で $R^{1-a} \to 0$ かつ $\frac{\log R}{R^{a-1}} \to 0$ なので積分は収束します。

したがって、$a>1$ のとき、$\int_1^{\infty} \frac{\log x}{x^a} dx = 0 - 0 + \frac{1}{(1-a)^2} = \frac{1}{(a-1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $a < 1$ のとき広義積分可能であり、$\int_0^1 \frac{\log x}{x^a} dx = -\frac{1}{(1-a)^2}$

(2) $a > 1$ のとき広義積分可能であり、$\int_1^\infty \frac{\log x}{x^a} dx = \frac{1}{(a-1)^2}$