(1) 3次方程式 $x^3 + 6x^2 - 8 = 0$ の異なる実数解の個数を求めよ。 (2) 不等式 $3x^4 + 1 \ge 4x^3$ が成り立つことを証明せよ。

1. 問題の内容

(1) 3次方程式 $x^3 + 6x^2 - 8 = 0$ の異なる実数解の個数を求めよ。

(2) 不等式 $3x^4 + 1 \ge 4x^3$ が成り立つことを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 + 6x^2 - 8$ とおく。

$f'(x) = 3x^2 + 12x = 3x(x+4)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=0, -4$

$f(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 - 8 = -64 + 96 - 8 = 24$

$f(0) = -8$

$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$

$x \to -\infty$ のとき $f(x) \to -\infty$

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -4 | ... | 0 | ... |

|-------|------|------|-----|----|-----|

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | 24 | ↓ | -8 | ↑ |

グラフの概形を考えると、$f(x) = 0$ は3つの異なる実数解を持つ。

(2) $g(x) = 3x^4 - 4x^3 + 1$ とおく。

$g'(x) = 12x^3 - 12x^2 = 12x^2(x-1)$

$g'(x) = 0$ となるのは $x=0, 1$

$g(0) = 1$

$g(1) = 3(1)^4 - 4(1)^3 + 1 = 3 - 4 + 1 = 0$

増減表は以下のようになる。

| x | ... | 0 | ... | 1 | ... |

|-------|-----|---|-----|---|-----|

| g'(x) | - | 0 | - | 0 | + |

| g(x) | ↓ | 1 | ↓ | 0 | ↑ |

$g(x)$ は $x=1$ で最小値0を取る。

したがって、$g(x) \ge 0$ である。

$3x^4 - 4x^3 + 1 \ge 0$

$3x^4 + 1 \ge 4x^3$

よって不等式は成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) 3個

(2) 証明終わり