関数 $f(x) = x^2 - 3x + 5$ 上の点 $(1, 3)$ における接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 3x + 5$ 上の点 $(1, 3)$ における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

接線の方程式を求めるためには、まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める必要があります。導関数は、接線の傾きを表します。

次に、$x = 1$ における $f'(x)$ の値を求め、それが接線の傾きとなります。

最後に、点 $(1, 3)$ と求めた傾きを使って、接線の方程式を求めます。

ステップ1: 導関数 $f'(x)$ を求める。

$f(x) = x^2 - 3x + 5$ の導関数は、

$f'(x) = 2x - 3$

となります。

ステップ2: $x = 1$ における $f'(x)$ の値を求める。

$f'(1) = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$

したがって、点 $(1, 3)$ における接線の傾きは $-1$ です。

ステップ3: 接線の方程式を求める。

点 $(x_1, y_1) = (1, 3)$ を通り、傾き $m = -1$ の直線の方程式は、

$y - y_1 = m(x - x_1)$

となります。

これに値を代入すると、

$y - 3 = -1(x - 1)$

$y - 3 = -x + 1$

$y = -x + 4$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = -x + 4$ です。