与えられた3つの和を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)$ を計算します。 (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}$ を計算します。 (3) $\sum_{k=1}^{12} \frac{1}{\sqrt{4k+1} + \sqrt{4k+5}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた3つの和を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)$ を計算します。

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}$ を計算します。

(3) $\sum_{k=1}^{12} \frac{1}{\sqrt{4k+1} + \sqrt{4k+5}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)$ を計算します。

まず、$k(n-k)$ を展開します。

$k(n-k) = nk - k^2$

次に、和の記号を適用します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k) = \sum_{k=1}^{n-1} (nk - k^2) = n \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k) = n \frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n^2(n-1)}{2} - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$= \frac{3n^2(n-1) - (n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n(n-1)(3n - (2n-1))}{6} = \frac{n(n-1)(n+1)}{6} = \frac{n(n^2-1)}{6} = \frac{n^3-n}{6}$

(2) $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}$ を計算します。

$S = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \dots + \frac{n}{2^n}$

$\frac{1}{2}S = \frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \frac{3}{2^4} + \dots + \frac{n-1}{2^n} + \frac{n}{2^{n+1}}$

$S - \frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} - \frac{n}{2^{n+1}}$

$\frac{1}{2}S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} - \frac{n}{2^{n+1}} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{n}{2^{n+1}} = 1 - \frac{1}{2^n} - \frac{n}{2^{n+1}}$

$S = 2(1 - \frac{1}{2^n} - \frac{n}{2^{n+1}}) = 2 - \frac{2}{2^n} - \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{n+2}{2^n}$

(3) $\sum_{k=1}^{12} \frac{1}{\sqrt{4k+1} + \sqrt{4k+5}}$ を計算します。

各項を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{4k+1} + \sqrt{4k+5}} = \frac{\sqrt{4k+5} - \sqrt{4k+1}}{(\sqrt{4k+5} + \sqrt{4k+1})(\sqrt{4k+5} - \sqrt{4k+1})} = \frac{\sqrt{4k+5} - \sqrt{4k+1}}{(4k+5) - (4k+1)} = \frac{\sqrt{4k+5} - \sqrt{4k+1}}{4}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{12} \frac{1}{\sqrt{4k+1} + \sqrt{4k+5}} = \sum_{k=1}^{12} \frac{\sqrt{4k+5} - \sqrt{4k+1}}{4} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{12} (\sqrt{4k+5} - \sqrt{4k+1})$

$= \frac{1}{4} [(\sqrt{9} - \sqrt{5}) + (\sqrt{13} - \sqrt{9}) + (\sqrt{17} - \sqrt{13}) + \dots + (\sqrt{53} - \sqrt{49})]$

$= \frac{1}{4} (\sqrt{53} - \sqrt{5}) = \frac{\sqrt{53}-\sqrt{5}}{4}$

ただし、問題文では $\sqrt{45}+\sqrt{49}$ とあるので、$\sqrt{4k+1}= \sqrt{45}$ となるのは $k =11$ なので、和は $k=1$ から $k=11$ ではなく、問題文の通り $k=12$ まで足し合わせると解釈し、最終項は $\frac{1}{\sqrt{4(12)+1}+\sqrt{4(12)+5}} = \frac{1}{\sqrt{49}+\sqrt{53}}$ となるため、

$= \frac{1}{4} [(\sqrt{9} - \sqrt{5}) + (\sqrt{13} - \sqrt{9}) + \dots + (\sqrt{53} - \sqrt{49})] = \frac{\sqrt{53} - \sqrt{5}}{4}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n^3 - n}{6}$

(2) $2 - \frac{n+2}{2^n}$

(3) $\frac{\sqrt{53} - \sqrt{5}}{4}$