関数 $f(x, y) = x - 4y$、 $g(x, y) = x^2 + y^2 - 17$、そして $F(x, y, t) = f(x, y) - tg(x, y)$ が与えられています。 (1) $F(x, y, t)$ の $x$, $y$, $t$ に関する偏微分をそれぞれ求めます。 (2) $F_x(x, y, t) = 0$、 $F_y(x, y, t) = 0$、 $F_t(x, y, t) = 0$ を満たす $(x, y, t)$ の組 $(a_1, b_1, c_1)$ と $(a_2, b_2, c_2)$ を求めます。ただし、$a_1 < a_2$とします。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x - 4y$、 $g(x, y) = x^2 + y^2 - 17$、そして $F(x, y, t) = f(x, y) - tg(x, y)$ が与えられています。

(1) $F(x, y, t)$ の $x$, $y$, $t$ に関する偏微分をそれぞれ求めます。

(2) $F_x(x, y, t) = 0$、 $F_y(x, y, t) = 0$、 $F_t(x, y, t) = 0$ を満たす $(x, y, t)$ の組 $(a_1, b_1, c_1)$ と $(a_2, b_2, c_2)$ を求めます。ただし、$a_1 < a_2$とします。

2. 解き方の手順

(1) 偏微分の計算

まず、$F(x, y, t)$ を書き下します。

$F(x, y, t) = (x - 4y) - t(x^2 + y^2 - 17)$

$x$ に関する偏微分:

$F_x(x, y, t) = \frac{\partial F}{\partial x} = 1 - 2tx$

$y$ に関する偏微分:

$F_y(x, y, t) = \frac{\partial F}{\partial y} = -4 - 2ty$

$t$ に関する偏微分:

$F_t(x, y, t) = \frac{\partial F}{\partial t} = -(x^2 + y^2 - 17)$

(2) 連立方程式を解く

$F_x(x, y, t) = 0$、 $F_y(x, y, t) = 0$、 $F_t(x, y, t) = 0$ を解きます。

$1 - 2tx = 0$

$-4 - 2ty = 0$

$-(x^2 + y^2 - 17) = 0$

最初の二つの式から、$2tx = 1$ と $2ty = -4$ が得られます。よって、$t \neq 0$です。

$x = \frac{1}{2t}$ および $y = -\frac{4}{2t} = -\frac{2}{t}$

これらの値を $x^2 + y^2 - 17 = 0$ に代入します。

$(\frac{1}{2t})^2 + (-\frac{2}{t})^2 - 17 = 0$

$\frac{1}{4t^2} + \frac{4}{t^2} - 17 = 0$

$\frac{1 + 16}{4t^2} = 17$

$\frac{17}{4t^2} = 17$

$4t^2 = 1$

$t^2 = \frac{1}{4}$

$t = \pm \frac{1}{2}$

$t = \frac{1}{2}$ のとき:

$x = \frac{1}{2(\frac{1}{2})} = 1$

$y = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -4$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき:

$x = \frac{1}{2(-\frac{1}{2})} = -1$

$y = -\frac{2}{-\frac{1}{2}} = 4$

よって、解は $(1, -4, \frac{1}{2})$ と $(-1, 4, -\frac{1}{2})$ です。

$a_1 < a_2$ なので、$(-1, 4, -\frac{1}{2})$ が $(a_1, b_1, c_1)$ に対応し、$(1, -4, \frac{1}{2})$ が $(a_2, b_2, c_2)$ に対応します。

3. 最終的な答え

$F_x(x, y, t) = 1 - 2tx$

$F_y(x, y, t) = -4 - 2ty$

$F_t(x, y, t) = -(x^2 + y^2 - 17)$

$(a_1, b_1, c_1) = (-1, 4, -\frac{1}{2})$

$(a_2, b_2, c_2) = (1, -4, \frac{1}{2})$