与えられた条件から、陰関数定理を用いて定義される合成関数の微分係数を求め、その点における関数 $f$ の性質を決定する。具体的には、点 $(a_1, b_1)$ および $(a_2, b_2)$ において、$g(x, y) = 0$ かつ $g_y(x, y) \neq 0$ という条件が満たされるとき、陰関数 $y = \phi(x)$ および $y = \psi(x)$ が存在し、それぞれに対応する合成関数 $p(x) = f(x, \phi(x))$ および $q(x) = f(x, \psi(x))$ の一階微分 $p'(a_1)$, $q'(a_2)$と二階微分 $p''(a_1)$, $q''(a_2)$ を求め、点 $(a_1, b_1)$ および $(a_2, b_2)$ が $f$ の何であるかを決定する。

1. 問題の内容

与えられた条件から、陰関数定理を用いて定義される合成関数の微分係数を求め、その点における関数 $f$ の性質を決定する。具体的には、点 $(a_1, b_1)$ および $(a_2, b_2)$ において、$g(x, y) = 0$ かつ $g_y(x, y) \neq 0$ という条件が満たされるとき、陰関数 $y = \phi(x)$ および $y = \psi(x)$ が存在し、それぞれに対応する合成関数 $p(x) = f(x, \phi(x))$ および $q(x) = f(x, \psi(x))$ の一階微分 $p'(a_1)$, $q'(a_2)$と二階微分 $p''(a_1)$, $q''(a_2)$ を求め、点 $(a_1, b_1)$ および $(a_2, b_2)$ が $f$ の何であるかを決定する。

2. 解き方の手順

(3) 点 $(a_1, b_1)$ の場合：

* 陰関数定理より、$g(a_1, b_1) = 0$ かつ $g_y(a_1, b_1) \neq 0$ であるから、陰関数 $y = \phi(x)$ が $(a_1, b_1)$ の近傍で存在し、$g(x, \phi(x)) = 0$ が成り立つ。

* 合成関数 $p(x) = f(x, \phi(x))$ の微分を求める。まず、$p'(x)$ を求める。

$p'(x) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d\phi}{dx}$

$p'(a_1) = f_x(a_1, b_1) + f_y(a_1, b_1)\phi'(a_1)$

さらに、$g(x, \phi(x)) = 0$ を $x$ で微分すると、

$\frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{d\phi}{dx} = 0$

$\phi'(x) = -\frac{g_x}{g_y}$

したがって、$\phi'(a_1) = -\frac{g_x(a_1, b_1)}{g_y(a_1, b_1)}$

$p'(a_1) = f_x(a_1, b_1) - f_y(a_1, b_1)\frac{g_x(a_1, b_1)}{g_y(a_1, b_1)}$

$p''(x)$はさらに複雑になるので、$p'(a_1)=0$の場合、点$(a_1, b_1)$はfの停留点となる。

$p'(a_1)=0$ と $p''(a_1) > 0$の場合、点$(a_1, b_1)$はfの極小点となる。

$p'(a_1)=0$ と $p''(a_1) < 0$の場合、点$(a_1, b_1)$はfの極大点となる。

(4) 点 $(a_2, b_2)$ の場合：

同様に、

$q'(x) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d\psi}{dx}$

$q'(a_2) = f_x(a_2, b_2) + f_y(a_2, b_2)\psi'(a_2)$

さらに、$g(x, \psi(x)) = 0$ を $x$ で微分すると、

$\frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{d\psi}{dx} = 0$

$\psi'(x) = -\frac{g_x}{g_y}$

したがって、$\psi'(a_2) = -\frac{g_x(a_2, b_2)}{g_y(a_2, b_2)}$

$q'(a_2) = f_x(a_2, b_2) - f_y(a_2, b_2)\frac{g_x(a_2, b_2)}{g_y(a_2, b_2)}$

$q''(x)$はさらに複雑になるので、$q'(a_2)=0$の場合、点$(a_2, b_2)$はfの停留点となる。

$q'(a_2)=0$ と $q''(a_2) > 0$の場合、点$(a_2, b_2)$はfの極小点となる。

$q'(a_2)=0$ と $q''(a_2) < 0$の場合、点$(a_2, b_2)$はfの極大点となる。

3. 最終的な答え

(3)

$p'(a_1) = f_x(a_1, b_1) - f_y(a_1, b_1)\frac{g_x(a_1, b_1)}{g_y(a_1, b_1)}$

$p''(a_1) = f_{xx}(a_1, b_1) + 2f_{xy}(a_1, b_1)\phi'(a_1) + f_{yy}(a_1, b_1)(\phi'(a_1))^2 + f_y(a_1, b_1)\phi''(a_1)$

$(a_1, b_1)$ is a critical point of $f$.

(4)

$q'(a_2) = f_x(a_2, b_2) - f_y(a_2, b_2)\frac{g_x(a_2, b_2)}{g_y(a_2, b_2)}$

$q''(a_2) = f_{xx}(a_2, b_2) + 2f_{xy}(a_2, b_2)\psi'(a_2) + f_{yy}(a_2, b_2)(\psi'(a_2))^2 + f_y(a_2, b_2)\psi''(a_2)$

$(a_2, b_2)$ is a critical point of $f$.