関数 $f(x, y) = x^3 - 3y^3 + 2x^2y$ が与えられています。陰関数定理により、$f(1, 1) = 0$ かつ $f_y(1, 1) \neq 0$ であるため、$y = \varphi(x)$ が $(x, y) = (1, 1)$ の周りに存在します。 (i) $\varphi'(1)$ を求めます。 (ii) $\varphi''(1)$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^3 - 3y^3 + 2x^2y$ が与えられています。陰関数定理により、$f(1, 1) = 0$ かつ $f_y(1, 1) \neq 0$ であるため、$y = \varphi(x)$ が $(x, y) = (1, 1)$ の周りに存在します。

(i) $\varphi'(1)$ を求めます。

(ii) $\varphi''(1)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(i) $\varphi'(1)$ を求める。

まず、$f(x, \varphi(x)) = x^3 - 3(\varphi(x))^3 + 2x^2\varphi(x) = 0$ を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx} f(x, \varphi(x)) = 3x^2 - 9(\varphi(x))^2\varphi'(x) + 4x\varphi(x) + 2x^2\varphi'(x) = 0$

$x = 1$ のとき、$\varphi(1) = 1$ なので、

$3 - 9\varphi'(1) + 4 + 2\varphi'(1) = 0$

$-7\varphi'(1) = -7$

$\varphi'(1) = 1$

(ii) $\varphi''(1)$ を求める。

$3x^2 - 9(\varphi(x))^2\varphi'(x) + 4x\varphi(x) + 2x^2\varphi'(x) = 0$ をさらに $x$ で微分します。

$6x - 18\varphi(x)(\varphi'(x))^2 - 9(\varphi(x))^2\varphi''(x) + 4\varphi(x) + 4x\varphi'(x) + 4x\varphi'(x) + 2x^2\varphi''(x) = 0$

$6x - 18\varphi(x)(\varphi'(x))^2 - 9(\varphi(x))^2\varphi''(x) + 4\varphi(x) + 8x\varphi'(x) + 2x^2\varphi''(x) = 0$

$x = 1$ のとき、$\varphi(1) = 1$ および $\varphi'(1) = 1$ なので、

$6 - 18(1)(1)^2 - 9(1)^2\varphi''(1) + 4(1) + 8(1)(1) + 2(1)^2\varphi''(1) = 0$

$6 - 18 - 9\varphi''(1) + 4 + 8 + 2\varphi''(1) = 0$

$-7\varphi''(1) = 0$

$\varphi''(1) = 0$

3. 最終的な答え

(i) $\varphi'(1) = 1$

(ii) $\varphi''(1) = 0$