関数 $f(x) = \log_2(x+3) + \log_2(5-x)$ について、その最大値をとるときの $x$ の値と、最大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log_2(x+3) + \log_2(5-x)$ について、その最大値をとるときの $x$ の値と、最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、対数関数が定義されるためには、真数が正である必要がある。したがって、$x+3 > 0$ かつ $5-x > 0$ でなければならない。

これから、$x > -3$ かつ $x < 5$ であるので、定義域は $-3 < x < 5$ となる。

次に、$f(x)$ を対数の性質を用いて簡単にする。対数の和は真数の積に変換できるので、

$f(x) = \log_2((x+3)(5-x))$

となる。ここで、$g(x) = (x+3)(5-x)$ とすると、

$g(x) = -x^2 + 2x + 15 = -(x^2 - 2x) + 15 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 15 = -(x-1)^2 + 16$

となる。

$g(x)$ は上に凸の放物線であり、$x=1$ で最大値16をとる。また、定義域 $-3 < x < 5$ において $g(x)$ は正の値をとる。

したがって、$x=1$ のとき、$g(x)$ は最大値16を取る。

$f(x) = \log_2(g(x))$ であるから、$g(x)$ が最大となるとき、$f(x)$ も最大となる。

$x=1$ のとき、$f(x) = \log_2(16) = \log_2(2^4) = 4$

3. 最終的な答え

$x=1$ のとき、最大値4をとる。