与えられた関数 $f(x, y) = x^4 - 4xy^2 + 3y^2$ に対して、$f(1, 1) = 0$ かつ $f_y(1, 1) \neq 0$ が成り立つとき、陰関数定理により $y = \varphi(x)$ が $(x, y) = (1, 1)$ の近傍に存在します。このとき、$\varphi'(1)$ と $\varphi''(1)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = x^4 - 4xy^2 + 3y^2$ に対して、$f(1, 1) = 0$ かつ $f_y(1, 1) \neq 0$ が成り立つとき、陰関数定理により $y = \varphi(x)$ が $(x, y) = (1, 1)$ の近傍に存在します。このとき、$\varphi'(1)$ と $\varphi''(1)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(i) $\varphi'(1)$ を求める。

陰関数定理より、$\varphi'(x) = -\frac{f_x}{f_y}$ が成り立ちます。ここで、$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$、$f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$ です。まず、$f_x$ と $f_y$ を求めます。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3 - 4y^2$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -8xy + 6y$

したがって、$\varphi'(x) = -\frac{4x^3 - 4y^2}{-8xy + 6y} = \frac{4x^3 - 4y^2}{8xy - 6y}$

$x = 1$ における $\varphi'(1)$ の値を求めるために、$x = 1$ かつ $y = \varphi(1) = 1$ を代入します。

$\varphi'(1) = \frac{4(1)^3 - 4(1)^2}{8(1)(1) - 6(1)} = \frac{4 - 4}{8 - 6} = \frac{0}{2} = 0$

(ii) $\varphi''(1)$ を求める。

$\varphi'(x) = \frac{4x^3 - 4(\varphi(x))^2}{8x\varphi(x) - 6\varphi(x)}$ をさらに微分します。$\varphi(x)$ を $y$ と書くことにすると

$\varphi'(x) = \frac{4x^3 - 4y^2}{8xy - 6y}$

$\varphi''(x) = \frac{d}{dx} \varphi'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{4x^3 - 4y^2}{8xy - 6y} \right)$

商の微分公式を使うと

$\varphi''(x) = \frac{(12x^2 - 8y\varphi'(x))(8xy - 6y) - (4x^3 - 4y^2)(8y + 8x\varphi'(x) - 6\varphi'(x))}{(8xy - 6y)^2}$

$x = 1, y = 1, \varphi'(1) = 0$ を代入すると

$\varphi''(1) = \frac{(12(1)^2 - 8(1)(0))(8(1)(1) - 6(1)) - (4(1)^3 - 4(1)^2)(8(1) + 8(1)(0) - 6(0))}{(8(1)(1) - 6(1))^2} = \frac{(12)(2) - (0)(8)}{2^2} = \frac{24}{4} = 6$

3. 最終的な答え

$\varphi'(1) = 0$

$\varphi''(1) = 6$