曲線 $C: x^3 + 5xy + 5xy^2 + 2y^2 + y - 2 = 0$ 上の点 $(1, -1)$ における接線を、陰関数定理を用いて求める。接線の式は $ax + by + c = 0$ の形で表される。

1. 問題の内容

曲線 $C: x^3 + 5xy + 5xy^2 + 2y^2 + y - 2 = 0$ 上の点 $(1, -1)$ における接線を、陰関数定理を用いて求める。接線の式は $ax + by + c = 0$ の形で表される。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $F(x, y) = x^3 + 5xy + 5xy^2 + 2y^2 + y - 2$ とおく。

次に、$F(x, y)$ を $x$ と $y$ でそれぞれ偏微分する。

$\frac{\partial F}{\partial x} = 3x^2 + 5y + 5y^2$

$\frac{\partial F}{\partial y} = 5x + 10xy + 4y + 1$

点 $(1, -1)$ における偏微分の値を計算する。

$\frac{\partial F}{\partial x}(1, -1) = 3(1)^2 + 5(-1) + 5(-1)^2 = 3 - 5 + 5 = 3$

$\frac{\partial F}{\partial y}(1, -1) = 5(1) + 10(1)(-1) + 4(-1) + 1 = 5 - 10 - 4 + 1 = -8$

陰関数定理によれば、点 $(1, -1)$ における接線の傾きは $-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$ で与えられる。

したがって、接線の傾きは $-\frac{3}{-8} = \frac{3}{8}$ である。

接線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。ここで $(x_1, y_1) = (1, -1)$ であり、$m = \frac{3}{8}$ である。

$y - (-1) = \frac{3}{8}(x - 1)$

$y + 1 = \frac{3}{8}x - \frac{3}{8}$

$8y + 8 = 3x - 3$

$3x - 8y - 11 = 0$

したがって、$3x - 8y - 11 = 0$ である。

3. 最終的な答え

接線の方程式は $3x - 8y - 11 = 0$ となります。つまり、

$3x + (-8)y + (-11) = 0$.

答え: 3x + (-8)y + (-11) = 0