与えられた関数 $f(x, y) = x^4 - 4xy^4 + 3y^2$ に対して、陰関数定理により $y = \phi(x)$ が $(1, 1)$ の周りに存在することが保証されている。 (i) $\phi'(1)$ を求めよ。 (ii) $\phi''(1)$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = x^4 - 4xy^4 + 3y^2$ に対して、陰関数定理により $y = \phi(x)$ が $(1, 1)$ の周りに存在することが保証されている。

(i) $\phi'(1)$ を求めよ。

(ii) $\phi''(1)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) $\phi'(1)$ の計算

陰関数定理より、$\phi'(x) = -\frac{f_x(x, y)}{f_y(x, y)}$ である。

まず、$f_x$ と $f_y$ を計算する。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3 - 4y^4$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -16xy^3 + 6y$

次に、$(x, y) = (1, 1)$ における $f_x$ と $f_y$ の値を計算する。

$f_x(1, 1) = 4(1)^3 - 4(1)^4 = 4 - 4 = 0$

$f_y(1, 1) = -16(1)(1)^3 + 6(1) = -16 + 6 = -10$

したがって、

$\phi'(1) = -\frac{f_x(1, 1)}{f_y(1, 1)} = -\frac{0}{-10} = 0$

(ii) $\phi''(1)$ の計算

$\phi''(x) = \frac{d}{dx} \phi'(x) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{f_x}{f_y} \right)$

$\phi''(x) = -\frac{f_{xx} + f_{xy}\phi'(x)}{f_y} + \frac{f_x (f_{yx} + f_{yy}\phi'(x))}{f_y^2}$

まず、二階偏導関数を計算する。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x^2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -16y^3$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -48xy^2 + 6$

$(x, y) = (1, 1)$ における二階偏導関数の値を計算する。

$f_{xx}(1, 1) = 12(1)^2 = 12$

$f_{xy}(1, 1) = -16(1)^3 = -16$

$f_{yy}(1, 1) = -48(1)(1)^2 + 6 = -48 + 6 = -42$

$\phi'(1) = 0$ を代入して、

$\phi''(1) = -\frac{f_{xx}(1, 1) + f_{xy}(1, 1)\phi'(1)}{f_y(1, 1)} + \frac{f_x(1, 1) (f_{yx}(1, 1) + f_{yy}(1, 1)\phi'(1))}{f_y(1, 1)^2}$

$\phi''(1) = -\frac{12 + (-16)(0)}{-10} + \frac{0 (-16 + (-42)(0))}{(-10)^2}$

$\phi''(1) = -\frac{12}{-10} + 0 = \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

$\phi'(1) = 0$

$\phi''(1) = \frac{6}{5}$