次の6つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to -2} \frac{2x^2 + 9x + 10}{3x^2 + 5x - 2}$ (2) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+4} - \sqrt{5}}{x-1}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + x + 2}$ (4) $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 3x + 2}$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}}$ (6) $\lim_{x \to \infty} (2x - \sqrt{3x + 4x^2})$

1. 問題の内容

次の6つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to -2} \frac{2x^2 + 9x + 10}{3x^2 + 5x - 2}$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+4} - \sqrt{5}}{x-1}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + x + 2}$

(4) $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 3x + 2}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}}$

(6) $\lim_{x \to \infty} (2x - \sqrt{3x + 4x^2})$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to -2} \frac{2x^2 + 9x + 10}{3x^2 + 5x - 2}$

分子と分母を因数分解します。

$2x^2 + 9x + 10 = (2x+5)(x+2)$

$3x^2 + 5x - 2 = (3x-1)(x+2)$

よって、

$\lim_{x \to -2} \frac{(2x+5)(x+2)}{(3x-1)(x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{2x+5}{3x-1} = \frac{2(-2)+5}{3(-2)-1} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+4} - \sqrt{5}}{x-1}$

分子を有理化します。

$\frac{\sqrt{x+4} - \sqrt{5}}{x-1} = \frac{(\sqrt{x+4} - \sqrt{5})(\sqrt{x+4} + \sqrt{5})}{(x-1)(\sqrt{x+4} + \sqrt{5})} = \frac{(x+4) - 5}{(x-1)(\sqrt{x+4} + \sqrt{5})} = \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+4} + \sqrt{5})} = \frac{1}{\sqrt{x+4} + \sqrt{5}}$

よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x+4} + \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{1+4} + \sqrt{5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + x + 2}$

分子と分母を$x^2$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}} = \frac{2 - 0 + 0}{1 + 0 + 0} = 2$

(4) $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 3x + 2}$

$x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$

$x^2 - 3x + 2 = (x-2)(x-1)$

よって、

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{(x-2)(x-1)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x-1} = \frac{2^2 + 2(2) + 4}{2-1} = \frac{4 + 4 + 4}{1} = 12$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}}$

分母を有理化します。

$\frac{x}{\sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}} = \frac{x(\sqrt{2+x} + \sqrt{2-x})}{(\sqrt{2+x} - \sqrt{2-x})(\sqrt{2+x} + \sqrt{2-x})} = \frac{x(\sqrt{2+x} + \sqrt{2-x})}{(2+x) - (2-x)} = \frac{x(\sqrt{2+x} + \sqrt{2-x})}{2x} = \frac{\sqrt{2+x} + \sqrt{2-x}}{2}$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} + \sqrt{2-x}}{2} = \frac{\sqrt{2+0} + \sqrt{2-0}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

(6) $\lim_{x \to \infty} (2x - \sqrt{3x + 4x^2})$

$2x - \sqrt{3x + 4x^2} = 2x - \sqrt{x^2(3/x + 4)} = 2x - |x|\sqrt{3/x + 4}$

$x \to \infty$なので、$x>0$として、$|x|=x$となる。

$=2x - x\sqrt{3/x + 4} = x(2 - \sqrt{3/x + 4})$

$\lim_{x \to \infty} x(2 - \sqrt{3/x + 4})$

$x(2 - \sqrt{3/x + 4}) = x\frac{(2 - \sqrt{3/x + 4})(2 + \sqrt{3/x + 4})}{2 + \sqrt{3/x + 4}} = x\frac{4 - (3/x + 4)}{2 + \sqrt{3/x + 4}} = x\frac{-3/x}{2 + \sqrt{3/x + 4}} = \frac{-3}{2 + \sqrt{3/x + 4}}$

よって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3}{2 + \sqrt{3/x + 4}} = \frac{-3}{2 + \sqrt{0 + 4}} = \frac{-3}{2 + 2} = -\frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{7}$

(2) $\frac{1}{2\sqrt{5}}$

(3) $2$

(4) $12$

(5) $\sqrt{2}$

(6) $-\frac{3}{4}$