曲線 $C: x^2 - xy^3 + 3xy + y - x = 0$ 上の点 $(1, 2)$ における接線を、陰関数定理を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $C: x^2 - xy^3 + 3xy + y - x = 0$ 上の点 $(1, 2)$ における接線を、陰関数定理を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線の方程式を $F(x, y) = x^2 - xy^3 + 3xy + y - x = 0$ とおきます。

次に、$F(x, y)$ を $x$ と $y$ で偏微分します。

$x$ に関する偏微分は、

$F_x = \frac{\partial F}{\partial x} = 2x - y^3 + 3y - 1$

$y$ に関する偏微分は、

$F_y = \frac{\partial F}{\partial y} = -3xy^2 + 3x + 1$

点 $(1, 2)$ における $F_x$ と $F_y$ の値を計算します。

$F_x(1, 2) = 2(1) - (2)^3 + 3(2) - 1 = 2 - 8 + 6 - 1 = -1$

$F_y(1, 2) = -3(1)(2)^2 + 3(1) + 1 = -12 + 3 + 1 = -8$

陰関数定理により、接線の傾き $m$ は $m = -\frac{F_x(1, 2)}{F_y(1, 2)} = -\frac{-1}{-8} = -\frac{1}{8}$ となります。

点 $(1, 2)$ を通り、傾きが $-\frac{1}{8}$ である直線の式は、

$y - 2 = -\frac{1}{8}(x - 1)$

$8(y - 2) = -(x - 1)$

$8y - 16 = -x + 1$

$x + 8y - 17 = 0$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $x + 8y - 17 = 0$ です。