次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{dx}{\sqrt{25x^2 - 30x + 16}}$ (2) $\int \sqrt{-9x^2 + 12x + 7} \, dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

(1) $\int \frac{dx}{\sqrt{25x^2 - 30x + 16}}$

(2) $\int \sqrt{-9x^2 + 12x + 7} \, dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、平方完成を行います。

$25x^2 - 30x + 16 = 25(x^2 - \frac{6}{5}x) + 16 = 25(x^2 - \frac{6}{5}x + \frac{9}{25}) - 9 + 16 = 25(x - \frac{3}{5})^2 + 7 = (5x - 3)^2 + 7$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{dx}{\sqrt{(5x - 3)^2 + 7}}$

$5x - 3 = \sqrt{7}\sinh u$ と置換すると、$5dx = \sqrt{7} \cosh u \, du$, $dx = \frac{\sqrt{7}}{5} \cosh u \, du$

したがって、

$\int \frac{dx}{\sqrt{(5x - 3)^2 + 7}} = \int \frac{\frac{\sqrt{7}}{5}\cosh u \, du}{\sqrt{7\sinh^2 u + 7}} = \int \frac{\frac{\sqrt{7}}{5}\cosh u}{\sqrt{7(\sinh^2 u + 1)}} du = \int \frac{\frac{\sqrt{7}}{5}\cosh u}{\sqrt{7}\cosh u} du = \int \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} u + C$

$u = \sinh^{-1} \frac{5x-3}{\sqrt{7}}$

したがって、$\frac{1}{5} \sinh^{-1} \frac{5x-3}{\sqrt{7}} + C$

(2)

まず、平方完成を行います。

$-9x^2 + 12x + 7 = -9(x^2 - \frac{4}{3}x) + 7 = -9(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}) + 4 + 7 = -9(x - \frac{2}{3})^2 + 11 = 11 - (3x - 2)^2$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \sqrt{11 - (3x - 2)^2} \, dx$

$3x - 2 = \sqrt{11} \sin u$ と置換すると、$3dx = \sqrt{11} \cos u \, du$, $dx = \frac{\sqrt{11}}{3} \cos u \, du$

したがって、

$\int \sqrt{11 - (3x - 2)^2} \, dx = \int \sqrt{11 - 11\sin^2 u} \frac{\sqrt{11}}{3} \cos u \, du = \int \sqrt{11}\cos u \frac{\sqrt{11}}{3} \cos u \, du = \frac{11}{3} \int \cos^2 u \, du$

$\cos^2 u = \frac{1 + \cos 2u}{2}$より、

$\frac{11}{3} \int \cos^2 u \, du = \frac{11}{3} \int \frac{1 + \cos 2u}{2} du = \frac{11}{6} \int (1 + \cos 2u) \, du = \frac{11}{6} (u + \frac{1}{2}\sin 2u) + C = \frac{11}{6} (u + \sin u \cos u) + C$

$u = \arcsin \frac{3x - 2}{\sqrt{11}}$, $\sin u = \frac{3x-2}{\sqrt{11}}$, $\cos u = \sqrt{1 - \frac{(3x-2)^2}{11}} = \sqrt{\frac{11 - (3x-2)^2}{11}} = \frac{\sqrt{11 - (3x-2)^2}}{\sqrt{11}}$

したがって、

$\frac{11}{6} (u + \sin u \cos u) + C = \frac{11}{6} (\arcsin \frac{3x-2}{\sqrt{11}} + \frac{3x-2}{\sqrt{11}} \frac{\sqrt{11 - (3x-2)^2}}{\sqrt{11}}) + C = \frac{11}{6} \arcsin \frac{3x-2}{\sqrt{11}} + \frac{1}{6}(3x-2)\sqrt{11 - (3x-2)^2} + C = \frac{11}{6} \arcsin \frac{3x-2}{\sqrt{11}} + \frac{1}{6}(3x-2)\sqrt{-9x^2+12x+7} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{5} \sinh^{-1} \frac{5x-3}{\sqrt{7}} + C$

(2) $\frac{11}{6} \arcsin \frac{3x-2}{\sqrt{11}} + \frac{1}{6}(3x-2)\sqrt{-9x^2+12x+7} + C$