関数 $f(x) = \frac{\log x}{x^\alpha}$ が、どのような場合に区間 $(0,1]$ 上で広義積分可能であるかを議論し、可能な場合に $\int_0^1 f(x) dx$ の値を求める。

## 問題の回答

画像の問題を解きます。

### 問1

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\log x}{x^\alpha}$ が、どのような場合に区間 $(0,1]$ 上で広義積分可能であるかを議論し、可能な場合に $\int_0^1 f(x) dx$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\int_0^1 \frac{\log x}{x^\alpha} dx$ が広義積分となるのは、$x \to 0$ のときである。

部分積分を行う。$u = \log x$, $dv = x^{-\alpha} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}$ （$\alpha \neq 1$ のとき）。

したがって、

$\int x^{-\alpha} \log x dx = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log x - \int \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \frac{1}{x} dx = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log x - \frac{1}{1-\alpha} \int x^{-\alpha} dx = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log x - \frac{x^{1-\alpha}}{(1-\alpha)^2} + C$

$\alpha = 1$ のとき、$v = \log x$, $\int \frac{\log x}{x} dx = \frac{(\log x)^2}{2} + C$

$\alpha \neq 1$ のとき、

$\int_0^1 \frac{\log x}{x^\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^1 \frac{\log x}{x^\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log x - \frac{x^{1-\alpha}}{(1-\alpha)^2} \right]_\epsilon^1$

$= \frac{1}{1-\alpha} \log 1 - \frac{1}{(1-\alpha)^2} - \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \frac{\epsilon^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log \epsilon - \frac{\epsilon^{1-\alpha}}{(1-\alpha)^2} \right]$

$= - \frac{1}{(1-\alpha)^2} - \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \frac{\epsilon^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log \epsilon - \frac{\epsilon^{1-\alpha}}{(1-\alpha)^2} \right]$

$\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon^{1-\alpha} \log \epsilon = 0$ となるのは、$1 - \alpha > 0$, つまり $\alpha < 1$ のとき。

$\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon^{1-\alpha} = 0$ となるのは、$1 - \alpha > 0$, つまり $\alpha < 1$ のとき。

したがって、$\alpha < 1$ のとき、広義積分は収束し、$\int_0^1 \frac{\log x}{x^\alpha} dx = - \frac{1}{(1-\alpha)^2}$ となる。

$\alpha = 1$ のとき、$\int_0^1 \frac{\log x}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^1 \frac{\log x}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \frac{(\log x)^2}{2} \right]_\epsilon^1 = \frac{(\log 1)^2}{2} - \lim_{\epsilon \to 0} \frac{(\log \epsilon)^2}{2} = - \infty$

よって、広義積分は発散する。

$\alpha > 1$ のとき、$\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon^{1-\alpha} \log \epsilon = - \infty$ なので、広義積分は発散する。

3. 最終的な答え

$\alpha < 1$ のとき、広義積分可能であり、$\int_0^1 \frac{\log x}{x^\alpha} dx = - \frac{1}{(1-\alpha)^2}$。

$\alpha \geq 1$ のとき、広義積分は発散する。

### 問2

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\log x}{x^\alpha}$ が、どのような場合に区間 $[1, \infty)$ 上で広義積分可能であるかを議論し、可能な場合に $\int_1^\infty f(x) dx$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\int_1^\infty \frac{\log x}{x^\alpha} dx$ が広義積分となるのは、$x \to \infty$ のときである。

問1と同様に部分積分を行う。

$\int x^{-\alpha} \log x dx = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log x - \frac{x^{1-\alpha}}{(1-\alpha)^2} + C$ （$\alpha \neq 1$ のとき）

$\int \frac{\log x}{x} dx = \frac{(\log x)^2}{2} + C$ （$\alpha = 1$ のとき）

$\alpha \neq 1$ のとき、

$\int_1^\infty \frac{\log x}{x^\alpha} dx = \lim_{R \to \infty} \int_1^R \frac{\log x}{x^\alpha} dx = \lim_{R \to \infty} \left[ \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log x - \frac{x^{1-\alpha}}{(1-\alpha)^2} \right]_1^R$

$= \lim_{R \to \infty} \left[ \frac{R^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log R - \frac{R^{1-\alpha}}{(1-\alpha)^2} \right] - \left[ \frac{1^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log 1 - \frac{1^{1-\alpha}}{(1-\alpha)^2} \right]$

$= \lim_{R \to \infty} \left[ \frac{R^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log R - \frac{R^{1-\alpha}}{(1-\alpha)^2} \right] + \frac{1}{(1-\alpha)^2}$

$\lim_{R \to \infty} R^{1-\alpha} \log R = 0$ となるのは、$1 - \alpha < 0$, つまり $\alpha > 1$ のとき。

$\lim_{R \to \infty} R^{1-\alpha} = 0$ となるのは、$1 - \alpha < 0$, つまり $\alpha > 1$ のとき。

したがって、$\alpha > 1$ のとき、広義積分は収束し、$\int_1^\infty \frac{\log x}{x^\alpha} dx = \frac{1}{(\alpha-1)^2}$ となる。

$\alpha = 1$ のとき、$\int_1^\infty \frac{\log x}{x} dx = \lim_{R \to \infty} \int_1^R \frac{\log x}{x} dx = \lim_{R \to \infty} \left[ \frac{(\log x)^2}{2} \right]_1^R = \lim_{R \to \infty} \frac{(\log R)^2}{2} - \frac{(\log 1)^2}{2} = \infty$

よって、広義積分は発散する。

$\alpha < 1$ のとき、$\lim_{R \to \infty} R^{1-\alpha} \log R = \infty$ なので、広義積分は発散する。

3. 最終的な答え

$\alpha > 1$ のとき、広義積分可能であり、$\int_1^\infty \frac{\log x}{x^\alpha} dx = \frac{1}{(\alpha-1)^2}$。

$\alpha \leq 1$ のとき、広義積分は発散する。

### 問3

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|}}$ に対して、領域 $[-1, 2] - \{0\}$ 上の広義積分の値を求める。

2. 解き方の手順

領域 $[-1, 2] - \{0\}$ は、区間 $[-1, 0)$ と $(0, 2]$ の和集合である。

$x < 0$ のとき、$|x| = -x$ より、$\int_{-1}^0 \frac{1}{\sqrt{|x|}} dx = \int_{-1}^0 \frac{1}{\sqrt{-x}} dx$

$x > 0$ のとき、$|x| = x$ より、$\int_0^2 \frac{1}{\sqrt{|x|}} dx = \int_0^2 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

$\int_{-1}^0 \frac{1}{\sqrt{-x}} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-1}^{-\epsilon} \frac{1}{\sqrt{-x}} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \left[ -2\sqrt{-x} \right]_{-1}^{-\epsilon} = \lim_{\epsilon \to 0} \left[ -2\sqrt{\epsilon} - (-2\sqrt{1}) \right] = 2$

$\int_0^2 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^2 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \left[ 2\sqrt{x} \right]_{\epsilon}^2 = \lim_{\epsilon \to 0} \left[ 2\sqrt{2} - 2\sqrt{\epsilon} \right] = 2\sqrt{2}$

したがって、$\int_{-1}^2 \frac{1}{\sqrt{|x|}} dx = 2 + 2\sqrt{2} = 2(1 + \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$\int_{-1}^2 \frac{1}{\sqrt{|x|}} dx = 2(1 + \sqrt{2})$

### 問4

1. 問題の内容

微分方程式 $\frac{dy}{dx} = y(1-y)$ の一般解を求め、一般解に含まれる任意定数を変動させたときの曲線群（特殊解からなる曲線群）を描け。少なくとも任意定数に 5 つの値を与え、曲線群を描くこと。

2. 解き方の手順

$\frac{dy}{dx} = y(1-y)$ は変数分離形なので、$\frac{dy}{y(1-y)} = dx$

$\frac{1}{y(1-y)} = \frac{1}{y} + \frac{1}{1-y}$ より、$\int \left( \frac{1}{y} + \frac{1}{1-y} \right) dy = \int dx$

$\log |y| - \log |1-y| = x + C$

$\log \left| \frac{y}{1-y} \right| = x + C$

$\frac{y}{1-y} = A e^x$ （$A = \pm e^C$）

$y = A e^x (1-y)$

$y = A e^x - A e^x y$

$y (1 + A e^x) = A e^x$

$y = \frac{A e^x}{1 + A e^x}$

$y = \frac{e^x}{\frac{1}{A} + e^x}$

$B = \frac{1}{A}$ とすると、$y = \frac{e^x}{B + e^x}$

$y = \frac{1}{1 + B e^{-x}}$ が一般解。

$B = 0$ のとき、$y = 1$ も解である。また、$y = 0$ も解である。

曲線群を描くには、少なくとも任意定数に 5 つの値を与えれば良い。

例えば、$B = -2, -1, 0, 1, 2$ とする。

$y = \frac{1}{1 - 2e^{-x}}$, $y = \frac{1}{1 - e^{-x}}$, $y = 1$, $y = \frac{1}{1 + e^{-x}}$, $y = \frac{1}{1 + 2e^{-x}}$

これらのグラフを描けばよい。

3. 最終的な答え

一般解は $y = \frac{1}{1 + B e^{-x}}$ (Bは任意定数)。特殊解は $y = 0$, $y=1$。

### 問5

1. 問題の内容

$y = x^2$ 上で点 A(1,1) から点 B(2,4) まで進む曲線 C に沿っての線積分 $\int_C \frac{dx}{x+y}$ および $\int_C \frac{dy}{x+y}$ の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

$y = x^2$ なので、$dy = 2x dx$

$x$ が 1 から 2 まで変化するとき、$y$ は 1 から 4 まで変化する。

$\int_C \frac{dx}{x+y} = \int_1^2 \frac{dx}{x + x^2} = \int_1^2 \frac{dx}{x(1+x)} = \int_1^2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} \right) dx = \left[ \log x - \log(1+x) \right]_1^2 = \left[ \log \frac{x}{1+x} \right]_1^2 = \log \frac{2}{3} - \log \frac{1}{2} = \log \frac{2/3}{1/2} = \log \frac{4}{3}$

$\int_C \frac{dy}{x+y} = \int_1^2 \frac{2x dx}{x + x^2} = 2 \int_1^2 \frac{x}{x(1+x)} dx = 2 \int_1^2 \frac{1}{1+x} dx = 2 \left[ \log (1+x) \right]_1^2 = 2 (\log 3 - \log 2) = 2 \log \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\int_C \frac{dx}{x+y} = \log \frac{4}{3}$

$\int_C \frac{dy}{x+y} = 2 \log \frac{3}{2}$