与えられた関数 $y = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 6x + \frac{1}{2}$ の増減を調べ、グラフの概形を描く。

はい、承知いたしました。問題2.6.1の(1)から(6)について、それぞれ関数の増減を調べ、グラフの概形を描く問題ですね。ここでは、(1)の $y = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 6x + \frac{1}{2}$ について解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 6x + \frac{1}{2}$ の増減を調べ、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 3x^2 + 3x - 6$

(2) 次に、導関数が0になる $x$ の値を求めます。これは、関数の極値を与える点の $x$ 座標です。

$3x^2 + 3x - 6 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

よって、$x = -2, 1$

(3) $x=-2$ と $x=1$ の前後で、$y'$ の符号を調べます。これにより、関数の増減が分かります。

- $x < -2$ のとき、$y' > 0$ (例：$x=-3$のとき、$y' = 3(-3)^2 + 3(-3) - 6 = 12 > 0$)　したがって、この区間で関数は増加。

- $-2 < x < 1$ のとき、$y' < 0$ (例：$x=0$のとき、$y' = -6 < 0$)　したがって、この区間で関数は減少。

- $x > 1$ のとき、$y' > 0$ (例：$x=2$のとき、$y' = 3(2)^2 + 3(2) - 6 = 12 > 0$)　したがって、この区間で関数は増加。

(4) $x = -2$ で極大値をとり、$x = 1$ で極小値をとります。それぞれの極値を計算します。

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^3 + \frac{3}{2}(-2)^2 - 6(-2) + \frac{1}{2} = -8 + 6 + 12 + \frac{1}{2} = 10.5$

$x = 1$ のとき、$y = (1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 - 6(1) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{3}{2} - 6 + \frac{1}{2} = -3$

(5) これらの情報をもとに、グラフの概形を描きます。関数は $x=-2$ で極大値 $10.5$ をとり、$x=1$ で極小値 $-3$ をとります。また、関数は $x < -2$ で増加し、$-2 < x < 1$ で減少し、$x > 1$ で増加します。

3. 最終的な答え

- 導関数: $y' = 3x^2 + 3x - 6$

- 極大値: $x = -2$ のとき、$y = 10.5$

- 極小値: $x = 1$ のとき、$y = -3$

- グラフの概形: $x < -2$ で増加、$-2 < x < 1$ で減少、$x > 1$ で増加。