$0 \le \theta \le \pi$ のとき、$\sin\theta + \cos\theta = t$ とするとき、$t$ のとりうる値の範囲を求めよ。また、$\sin\theta + \cos\theta + 2\sin 2\theta$ の最大値、最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \pi$ のとき、$\sin\theta + \cos\theta = t$ とするとき、$t$ のとりうる値の範囲を求めよ。また、$\sin\theta + \cos\theta + 2\sin 2\theta$ の最大値、最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sin\theta + \cos\theta$ を変形し、$t$ の範囲を求める。

$t = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta \le \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \theta+\frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$

$-1 \le \sin(\theta+\frac{\pi}{4}) \le 1$ なので、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

また、$t^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + \sin 2\theta$

よって、$\sin 2\theta = t^2 - 1$

したがって、$\sin\theta + \cos\theta + 2\sin 2\theta = t + 2(t^2-1) = 2t^2 + t - 2$

$f(t) = 2t^2 + t - 2 = 2(t^2 + \frac{1}{2}t) - 2 = 2(t + \frac{1}{4})^2 - 2 - \frac{1}{8} = 2(t + \frac{1}{4})^2 - \frac{17}{8}$

$f(t)$ は $t = -\frac{1}{4}$ で最小値 $-\frac{17}{8}$ を取る。

$t = \sqrt{2}$ のとき、$f(\sqrt{2}) = 2(\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - 2 = 4 + \sqrt{2} - 2 = 2 + \sqrt{2}$

$t = -\sqrt{2}$ のとき、 $f(-\sqrt{2}) = 2(-\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} - 2 = 4 - \sqrt{2} - 2 = 2 - \sqrt{2}$

したがって、最大値は $2 + \sqrt{2}$、最小値は $-\frac{17}{8}$

しかしながら、$\frac{\pi}{4} \le \theta+\frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$なので、$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le \sin(\theta+\frac{\pi}{4}) \le 1$となる。

したがって、$-1 \le \sin(\theta+\frac{\pi}{4}) \le 1$を満たす$\theta$は存在せず、$t$の範囲は$-\sqrt{2}/2 \le \theta \le \sqrt{2}$ではない。

実際には、$t$の範囲は$[-1,\sqrt{2}]$となる。

$t$の範囲は$[-1, \sqrt{2}]$なので、

$t = -1$ のとき $f(-1) = 2(-1)^2 - 1 - 2 = 2 - 1 - 2 = -1$

$t = \sqrt{2}$ のとき $f(\sqrt{2}) = 2 + \sqrt{2}$

$t = -\frac{1}{4}$ のとき $f(-\frac{1}{4}) = -\frac{17}{8}$

したがって、最小値は$-\frac{17}{8}$、最大値は$2+\sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

$t$ の範囲: $[-1,\sqrt{2}]$

最大値: $2 + \sqrt{2}$

最小値: $-\frac{17}{8}$