与えられた問題は以下の通りです。 (1) $\log(x + \sqrt{x^2 + a})$ (ただし、$x > 0$) を微分せよ。 (2) $a = \frac{4b^2}{(e - e^{-1})^2}$ のとき、$\int_0^b \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}} dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の通りです。

(1) $\log(x + \sqrt{x^2 + a})$ (ただし、$x > 0$) を微分せよ。

(2) $a = \frac{4b^2}{(e - e^{-1})^2}$ のとき、$\int_0^b \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}} dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\log(x + \sqrt{x^2 + a})$ を微分します。合成関数の微分法を使うと、

$\frac{d}{dx} \log(x + \sqrt{x^2 + a}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + a}} \cdot \frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 + a})$

ここで、$\frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 + a}) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + a}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}$

したがって、

$\frac{d}{dx} \log(x + \sqrt{x^2 + a}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + a}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + a}} \cdot (\frac{\sqrt{x^2 + a} + x}{\sqrt{x^2 + a}})$

$= \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}}$

(2) $a = \frac{4b^2}{(e - e^{-1})^2}$ のとき、$\int_0^b \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}} dx$ を計算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}} dx = \log(x + \sqrt{x^2 + a}) + C$ (Cは積分定数)

したがって、

$\int_0^b \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}} dx = [\log(x + \sqrt{x^2 + a})]_0^b = \log(b + \sqrt{b^2 + a}) - \log(\sqrt{a})$

$a = \frac{4b^2}{(e - e^{-1})^2}$より、$\sqrt{a} = \frac{2b}{e - e^{-1}} = \frac{2b}{e - \frac{1}{e}} = \frac{2be}{e^2 - 1}$

$\int_0^b \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}} dx = \log(b + \sqrt{b^2 + \frac{4b^2}{(e - e^{-1})^2}}) - \log(\frac{2b}{e - e^{-1}})$

$= \log(b + \sqrt{b^2(1 + \frac{4}{(e - e^{-1})^2})}) - \log(\frac{2b}{e - e^{-1}}) = \log(b + b\sqrt{1 + \frac{4}{(e - e^{-1})^2}}) - \log(\frac{2b}{e - e^{-1}})$

$= \log(b(1 + \sqrt{1 + \frac{4}{(e - e^{-1})^2}})) - \log(\frac{2b}{e - e^{-1}})$

$= \log(1 + \sqrt{1 + \frac{4}{(e - e^{-1})^2}}) + \log(b) - \log(2b) + \log(e - e^{-1})$

$= \log(1 + \sqrt{1 + \frac{4}{(e - e^{-1})^2}}) - \log(2) + \log(e - e^{-1})$

$e - e^{-1} = e - \frac{1}{e} = \frac{e^2 - 1}{e}$なので、

$a = \frac{4b^2}{(\frac{e^2-1}{e})^2} = \frac{4b^2e^2}{(e^2 - 1)^2}$

$\sqrt{a} = \frac{2be}{e^2 - 1}$

$1 + \frac{4}{(e - e^{-1})^2} = 1 + (\frac{2}{e - e^{-1}})^2 = 1 + (\frac{2e}{e^2 - 1})^2 = \frac{(e^2 - 1)^2 + 4e^2}{(e^2 - 1)^2} = \frac{e^4 - 2e^2 + 1 + 4e^2}{(e^2 - 1)^2} = \frac{e^4 + 2e^2 + 1}{(e^2 - 1)^2} = \frac{(e^2 + 1)^2}{(e^2 - 1)^2}$

$\sqrt{1 + \frac{4}{(e - e^{-1})^2}} = \frac{e^2 + 1}{e^2 - 1}$

よって、$\log(1 + \sqrt{1 + \frac{4}{(e - e^{-1})^2}}) - \log(2) + \log(e - e^{-1}) = \log(1 + \frac{e^2 + 1}{e^2 - 1}) - \log(2) + \log(\frac{e^2 - 1}{e})$

$= \log(\frac{e^2 - 1 + e^2 + 1}{e^2 - 1}) - \log(2) + \log(\frac{e^2 - 1}{e}) = \log(\frac{2e^2}{e^2 - 1}) - \log(2) + \log(\frac{e^2 - 1}{e}) = \log(2e^2) - \log(e^2 - 1) - \log(2) + \log(e^2 - 1) - \log(e) = \log(e) = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{\sqrt{x^2 + a}}$

(2) 1