関数 $f(x) = \frac{1}{x^2+3x}$ が与えられたとき、以下の問題を解きます。 (1) $f'(x)$ を求める。 (2) $a>1$ のとき、$\int_1^a f(x) dx$ を求める。 (3) (2)で求めた定積分の値を $I(a)$ とするとき、$\lim_{a\to\infty} I(a)$ を求める。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x^2+3x}$ が与えられたとき、以下の問題を解きます。

(1) $f'(x)$ を求める。

(2) $a>1$ のとき、$\int_1^a f(x) dx$ を求める。

(3) (2)で求めた定積分の値を $I(a)$ とするとき、$\lim_{a\to\infty} I(a)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x)$ を求める

$f(x) = \frac{1}{x^2+3x} = (x^2+3x)^{-1}$ であるから、合成関数の微分公式を用いて、

$f'(x) = -1(x^2+3x)^{-2}(2x+3) = -\frac{2x+3}{(x^2+3x)^2}$

(2) $\int_1^a f(x) dx$ を求める

まず、$f(x)$ を部分分数分解する。

$\frac{1}{x^2+3x} = \frac{1}{x(x+3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+3}$

$1 = A(x+3) + Bx$

$x = 0$ のとき、$1 = 3A$ より、$A = \frac{1}{3}$

$x = -3$ のとき、$1 = -3B$ より、$B = -\frac{1}{3}$

よって、$f(x) = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3}\right)$

したがって、

$\int_1^a f(x) dx = \frac{1}{3}\int_1^a \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3}\right) dx$

$= \frac{1}{3} \left[\ln|x| - \ln|x+3|\right]_1^a$

$= \frac{1}{3} \left[\ln\left|\frac{x}{x+3}\right|\right]_1^a$

$= \frac{1}{3} \left(\ln\frac{a}{a+3} - \ln\frac{1}{4}\right)$

$= \frac{1}{3} \left(\ln\frac{a}{a+3} + \ln 4\right)$

$= \frac{1}{3} \ln\frac{4a}{a+3}$

(3) $\lim_{a\to\infty} I(a)$ を求める

$I(a) = \frac{1}{3} \ln\frac{4a}{a+3}$

$\lim_{a\to\infty} I(a) = \lim_{a\to\infty} \frac{1}{3} \ln\frac{4a}{a+3}$

$= \frac{1}{3} \ln \left(\lim_{a\to\infty} \frac{4a}{a+3}\right)$

$= \frac{1}{3} \ln \left(\lim_{a\to\infty} \frac{4}{1+\frac{3}{a}}\right)$

$= \frac{1}{3} \ln 4$

$= \frac{1}{3} \ln 2^2$

$= \frac{2}{3} \ln 2$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = -\frac{2x+3}{(x^2+3x)^2}$

(2) $\int_1^a f(x) dx = \frac{1}{3} \ln\frac{4a}{a+3}$

(3) $\lim_{a\to\infty} I(a) = \frac{2}{3} \ln 2$