$k$ を正の定数とする。関数 $f(x) = kx^2 - \log x$ について、以下の問いに答える。ただし、対数は自然対数である。 (1) $f(x)$ の極値を $k$ を用いて表せ。 (2) $f(x) = 0$ が相異なる2つの解をもつための $k$ に関する必要十分条件を求めよ。必要なら $\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty$ を用いてよい。 (3) $f(x) = 0$ は2つの解 $x_1, x_2 (x_1 < x_2)$ をもつとする。このとき、$I = \frac{1}{x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2} (3kx^2 - \log x) dx$ とおくと $I$ は $k$ の値によらず一定となる。$I$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$k$ を正の定数とする。関数 $f(x) = kx^2 - \log x$ について、以下の問いに答える。ただし、対数は自然対数である。

(1) $f(x)$ の極値を $k$ を用いて表せ。

(2) $f(x) = 0$ が相異なる2つの解をもつための $k$ に関する必要十分条件を求めよ。必要なら $\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty$ を用いてよい。

(3) $f(x) = 0$ は2つの解 $x_1, x_2 (x_1 < x_2)$ をもつとする。このとき、$I = \frac{1}{x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2} (3kx^2 - \log x) dx$ とおくと $I$ は $k$ の値によらず一定となる。$I$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = kx^2 - \log x$ を微分して、極値を求める。

$f'(x) = 2kx - \frac{1}{x} = \frac{2kx^2 - 1}{x}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $2kx^2 - 1 = 0$ より $x^2 = \frac{1}{2k}$ なので、$x = \frac{1}{\sqrt{2k}}$ （$x > 0$ より）。

$f''(x) = 2k + \frac{1}{x^2}$ であり、$f''(\frac{1}{\sqrt{2k}}) = 2k + 2k = 4k > 0$ なので、$x = \frac{1}{\sqrt{2k}}$ で極小値をとる。

極小値は $f(\frac{1}{\sqrt{2k}}) = k \cdot \frac{1}{2k} - \log \frac{1}{\sqrt{2k}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log(2k)$

(2) $f(x) = 0$ が相異なる2つの解を持つためには、極小値が負である必要がある。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log(2k) < 0$

$1 + \log(2k) < 0$

$\log(2k) < -1$

$2k < e^{-1} = \frac{1}{e}$

$k < \frac{1}{2e}$

また、$x \to 0$ のとき $f(x) \to -\infty$ であり、$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ であるから、極小値が負であれば、$f(x) = 0$ は相異なる2つの解を持つ。

したがって、$f(x) = 0$ が相異なる2つの解を持つための必要十分条件は $0 < k < \frac{1}{2e}$ である。

(3) $I = \frac{1}{x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2} (3kx^2 - \log x) dx$ であり、$kx_1^2 - \log x_1 = 0$ かつ $kx_2^2 - \log x_2 = 0$ である。

$\int_{x_1}^{x_2} (3kx^2 - \log x) dx = \int_{x_1}^{x_2} (3kx^2) dx - \int_{x_1}^{x_2} \log x dx$

$= [kx^3]_{x_1}^{x_2} - [x \log x - x]_{x_1}^{x_2} = k(x_2^3 - x_1^3) - (x_2 \log x_2 - x_2 - x_1 \log x_1 + x_1)$

ここで、$\log x_2 = kx_2^2$ かつ $\log x_1 = kx_1^2$ より

$I = \frac{1}{x_2 - x_1} [ k(x_2^3 - x_1^3) - x_2(kx_2^2) + x_2 + x_1(kx_1^2) - x_1 ]$

$= \frac{1}{x_2 - x_1} [ k(x_2^3 - x_1^3) - kx_2^3 + x_2 + kx_1^3 - x_1 ]$

$= \frac{1}{x_2 - x_1} [ k(x_2^3 - x_1^3 - x_2^3 + x_1^3) + (x_2 - x_1) ]$

$= \frac{1}{x_2 - x_1} (x_2 - x_1) = 1$

3. 最終的な答え

(1) 極小値: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log(2k)$ （$x = \frac{1}{\sqrt{2k}}$ のとき）

(2) $0 < k < \frac{1}{2e}$

(3) $I = 1$