与えられた角 $\theta$ に対して、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める問題です。 (1) $\theta = \frac{9}{4}\pi$ (2) $\theta = -\frac{8}{3}\pi$

1. 問題の内容

与えられた角 $\theta$ に対して、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める問題です。

(1) $\theta = \frac{9}{4}\pi$

(2) $\theta = -\frac{8}{3}\pi$

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{9}{4}\pi$ の場合

まず、$\frac{9}{4}\pi$ を $2\pi$ の整数倍を引いて、0から$2\pi$の間の角度に変換します。

$\frac{9}{4}\pi = 2\pi + \frac{1}{4}\pi = 2\pi + \frac{\pi}{4}$.

したがって、$\sin(\frac{9}{4}\pi) = \sin(\frac{\pi}{4})$, $\cos(\frac{9}{4}\pi) = \cos(\frac{\pi}{4})$, $\tan(\frac{9}{4}\pi) = \tan(\frac{\pi}{4})$となります。

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

(2) $\theta = -\frac{8}{3}\pi$ の場合

同様に、$-\frac{8}{3}\pi$ に $2\pi$ の整数倍を足して、0から$2\pi$の間の角度に変換します。

$-\frac{8}{3}\pi = -2\pi - \frac{2}{3}\pi$.

$-\frac{8}{3}\pi + 2\pi = -\frac{2}{3}\pi$.

さらに $2\pi$ を足すと、

$-\frac{2}{3}\pi + 2\pi = \frac{4}{3}\pi$.

したがって、$\sin(-\frac{8}{3}\pi) = \sin(\frac{4}{3}\pi)$, $\cos(-\frac{8}{3}\pi) = \cos(\frac{4}{3}\pi)$, $\tan(-\frac{8}{3}\pi) = \tan(\frac{4}{3}\pi)$となります。

$\frac{4}{3}\pi = \pi + \frac{\pi}{3}$なので、

$\sin(\frac{4}{3}\pi) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\cos(\frac{4}{3}\pi) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$,

$\tan(\frac{4}{3}\pi) = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{9}{4}\pi$ のとき

$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan \theta = 1$

(2) $\theta = -\frac{8}{3}\pi$ のとき

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta = -\frac{1}{2}$

$\tan \theta = \sqrt{3}$