与えられた関数 $y = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 6x + \frac{1}{2}$ の増減を調べ、グラフの概形を描く。

承知いたしました。問題文に記載されている6つの関数の中から、関数(1) $y = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 6x + \frac{1}{2}$ について、増減を調べ、グラフの概形を描く問題として回答します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 6x + \frac{1}{2}$ の増減を調べ、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 導関数を求める。

与えられた関数を$x$で微分する。

$y' = 3x^2 + 3x - 6$

(2) 導関数が0となる点を求める。

導関数$y'$が0となる$x$の値を求める。

$3x^2 + 3x - 6 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 1$

(3) 増減表を作成する。

$x = -2, 1$ をもとに増減表を作成し、$y'$の符号を調べる。

| x | ... | -2 | ... | 1 | ... |

|------|-------|-------|-------|-------|-------|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大値 | 減少 | 極小値 | 増加 |

(4) 極値を求める。

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^3 + \frac{3}{2}(-2)^2 - 6(-2) + \frac{1}{2} = -8 + 6 + 12 + \frac{1}{2} = \frac{21}{2}$

$x = 1$ のとき、$y = (1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 - 6(1) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{3}{2} - 6 + \frac{1}{2} = -4$

(5) グラフの概形を描く。

極大値$(\frac{21}{2})$を$x=-2$で、極小値$(-4)$を$x=1$でとることを考慮し、グラフの概形を描く。

3. 最終的な答え

極大値：$x = -2$ で $y = \frac{21}{2}$

極小値：$x = 1$ で $y = -4$

グラフの概形：上記の極大値と極小値、および関数の形状（3次関数）を考慮してグラフを描画します。