次の関数の増減を調べる問題です。関数は $y = \frac{3}{2}x^4 - 2x^3 - 6x^2 - 3$ です。

1. 問題の内容

次の関数の増減を調べる問題です。関数は $y = \frac{3}{2}x^4 - 2x^3 - 6x^2 - 3$ です。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。

$y' = \frac{d}{dx} (\frac{3}{2}x^4 - 2x^3 - 6x^2 - 3) = 6x^3 - 6x^2 - 12x$

(2) 導関数 $y'$ を0とおいて、極値をとる$x$の値を求めます。

$6x^3 - 6x^2 - 12x = 0$

$6x(x^2 - x - 2) = 0$

$6x(x-2)(x+1) = 0$

よって、$x = 0, 2, -1$ が極値を与える$x$の値です。

(3) 増減表を作成します。極値を与える$x$の値をもとに、区間を分けて、$y'$の符号を調べます。

| x | x < -1 | -1 | -1 < x < 0 | 0 | 0 < x < 2 | 2 | x > 2 |

|------|--------|-------|------------|-------|-----------|-------|-------|

| y' | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 減少 | 極小値 | 増加 | 極大値 | 減少 | 極小値 | 増加 |

(4) 各極値を求めます。

$x = -1$ のとき、$y = \frac{3}{2}(-1)^4 - 2(-1)^3 - 6(-1)^2 - 3 = \frac{3}{2} + 2 - 6 - 3 = \frac{3}{2} - 7 = -\frac{11}{2}$

$x = 0$ のとき、$y = \frac{3}{2}(0)^4 - 2(0)^3 - 6(0)^2 - 3 = -3$

$x = 2$ のとき、$y = \frac{3}{2}(2)^4 - 2(2)^3 - 6(2)^2 - 3 = \frac{3}{2}(16) - 2(8) - 6(4) - 3 = 24 - 16 - 24 - 3 = -19$

(5) 以上の結果をまとめます。

$x<-1$で減少

$x=-1$で極小値 $-\frac{11}{2}$

$-1<x<0$で増加

$x=0$で極大値 $-3$

$0<x<2$で減少

$x=2$で極小値 $-19$

$x>2$で増加

3. 最終的な答え

- $x < -1$ で減少

- $x = -1$ で極小値 $-\frac{11}{2}$

- $-1 < x < 0$ で増加

- $x = 0$ で極大値 $-3$

- $0 < x < 2$ で減少

- $x = 2$ で極小値 $-19$

- $x > 2$ で増加