与えられた2つの累次積分を計算する問題です。 (1) $\int_{0}^{2} \int_{x^2}^{2x} xe^y dy dx$ (2) $\int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y \sin(xy) dx dy$

1. 問題の内容

与えられた2つの累次積分を計算する問題です。

(1) $\int_{0}^{2} \int_{x^2}^{2x} xe^y dy dx$

(2) $\int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y \sin(xy) dx dy$

2. 解き方の手順

(1) まず内側の積分を$y$について計算します。その後、外側の積分を$x$について計算します。

(2) まず内側の積分を$x$について計算します。その後、外側の積分を$y$について計算します。

(1)

まず、内側の積分を計算します。

$\int_{x^2}^{2x} xe^y dy = x [e^y]_{x^2}^{2x} = x(e^{2x} - e^{x^2})$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_{0}^{2} x(e^{2x} - e^{x^2}) dx = \int_{0}^{2} xe^{2x} dx - \int_{0}^{2} xe^{x^2} dx$

$\int_{0}^{2} xe^{2x} dx$を部分積分で計算します。$u=x$, $dv = e^{2x} dx$とおくと、$du=dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$となります。

$\int_{0}^{2} xe^{2x} dx = [\frac{1}{2}xe^{2x}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{2}e^{2x} dx = \frac{1}{2}(2e^4 - 0) - [\frac{1}{4}e^{2x}]_{0}^{2} = e^4 - (\frac{1}{4}e^4 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{4}e^4 + \frac{1}{4}$

$\int_{0}^{2} xe^{x^2} dx$を計算します。$t = x^2$とおくと、$dt = 2x dx$となります。

$\int_{0}^{2} xe^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^t dt = \frac{1}{2}[e^t]_{0}^{4} = \frac{1}{2}(e^4 - 1)$

したがって、

$\int_{0}^{2} x(e^{2x} - e^{x^2}) dx = (\frac{3}{4}e^4 + \frac{1}{4}) - \frac{1}{2}(e^4 - 1) = \frac{1}{4}e^4 + \frac{3}{4}$

(2)

まず、内側の積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y \sin(xy) dx$ を部分積分で計算します。$u = y$, $dv = \sin(xy) dx$とおくと、$du = 0$, $v = -\frac{1}{y}\cos(xy)$となります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y \sin(xy) dx = [- \cos(xy)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = - \cos(\frac{\pi}{2}y) + \cos(0) = 1 - \cos(\frac{\pi}{2}y)$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (1 - \cos(\frac{\pi}{2}y)) dy = \int_{0}^{1} 1 dy - \int_{0}^{1} \cos(\frac{\pi}{2}y) dy = [y]_{0}^{1} - [\frac{2}{\pi} \sin(\frac{\pi}{2}y)]_{0}^{1} = 1 - (\frac{2}{\pi}\sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{2}{\pi}\sin(0)) = 1 - \frac{2}{\pi}(1 - 0) = 1 - \frac{2}{\pi}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}e^4 + \frac{3}{4}$

(2) $1 - \frac{2}{\pi}$