与えられた関数 $f(x) = x^2e^{-x}$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $y = f(x)$ のグラフの概形を、$x \rightarrow \pm \infty$ のときの様子に注意して描きます。凹凸は気にしなくても良いとのことです。 (2) $y = f(x)$ の $x = -1$ における接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x^2e^{-x}$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $y = f(x)$ のグラフの概形を、$x \rightarrow \pm \infty$ のときの様子に注意して描きます。凹凸は気にしなくても良いとのことです。

(2) $y = f(x)$ の $x = -1$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) グラフの概形

* $x \rightarrow \infty$ のとき、$e^{-x} \rightarrow 0$ なので、$f(x) = x^2e^{-x} \rightarrow 0$ となります。

* $x \rightarrow -\infty$ のとき、$e^{-x} \rightarrow \infty$ なので、$f(x) = x^2e^{-x} \rightarrow \infty$ となります。

* $f(0) = 0^2e^{-0} = 0$ なので、グラフは原点を通ります。

* $x>0$のとき、$f(x)>0$であり、$x<0$のときも、$f(x)>0$であるため、$f(x)$は常に0以上であることがわかります。

以上のことから、グラフは原点を通り、$x \rightarrow \infty$ で $0$ に近づき、$x \rightarrow -\infty$ で $\infty$ に発散するような概形になります。

(2) 接線の方程式

* $f(x) = x^2e^{-x}$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。積の微分法より、

$f'(x) = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = e^{-x}(2x - x^2)$

* $x = -1$ における $f(x)$ の値を求めます。

$f(-1) = (-1)^2e^{-(-1)} = 1 \cdot e = e$

* $x = -1$ における $f'(x)$ の値を求めます。

$f'(-1) = e^{-(-1)}(2(-1) - (-1)^2) = e(-2 - 1) = -3e$

* 接線の方程式は、$y - f(-1) = f'(-1)(x - (-1))$ で表されます。

これに、$f(-1) = e$、$f'(-1) = -3e$ を代入すると、

$y - e = -3e(x + 1)$

$y - e = -3ex - 3e$

$y = -3ex - 2e$

3. 最終的な答え

(1) グラフの概形：

$x \rightarrow \infty$ で $0$ に近づき、$x \rightarrow -\infty$ で $\infty$ に発散するような、原点を通るグラフ。

(2) 接線の方程式：

$y = -3ex - 2e$