問題は、$x > 0$ の条件下で、以下の不等式が成り立つことを示す問題です。 $\frac{x}{1+x^2} \le \arctan{x} < x$

1. 問題の内容

問題は、$x > 0$ の条件下で、以下の不等式が成り立つことを示す問題です。

$\frac{x}{1+x^2} \le \arctan{x} < x$

2. 解き方の手順

(1) $\arctan{x} < x$ の証明:

関数 $f(x) = x - \arctan{x}$ を考えます。$f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$ となります。

$x > 0$ なので、$f'(x) > 0$ です。したがって、$f(x)$ は $x > 0$ で単調増加です。

$f(0) = 0 - \arctan{0} = 0$ なので、$x > 0$ において $f(x) > 0$ です。

よって、$x - \arctan{x} > 0$、つまり $\arctan{x} < x$ が証明されました。

(2) $\frac{x}{1+x^2} \le \arctan{x}$ の証明:

関数 $g(x) = \arctan{x} - \frac{x}{1+x^2}$ を考えます。$g'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{(1+x^2) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 - (1-x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{2x^2}{(1+x^2)^2}$ となります。

$x > 0$ なので、$g'(x) > 0$ です。したがって、$g(x)$ は $x > 0$ で単調増加です。

$g(0) = \arctan{0} - \frac{0}{1+0^2} = 0$ なので、$x > 0$ において $g(x) > 0$ です。厳密には、$g(0) = 0$ なので $g(x) \ge 0$となります。

よって、$\arctan{x} - \frac{x}{1+x^2} \ge 0$、つまり $\frac{x}{1+x^2} \le \arctan{x}$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$x > 0$ のとき、

$\frac{x}{1+x^2} \le \arctan{x} < x$