$\int \tan^{-1} x \, dx$ を求めよ。

はい、承知いたしました。画像に写っている問題のうち、3-(1)の問題を解きます。

1. 問題の内容

$\int \tan^{-1} x \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。$\tan^{-1} x$ を $u$ とし、$1$ を $dv$ とします。すると、

$u = \tan^{-1} x$

$du = \frac{1}{1+x^2} dx$

$dv = dx$

$v = x$

となります。部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用いると、

$\int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^2} dx$

ここで、$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ を計算します。$t = 1+x^2$ とすると、$dt = 2x \, dx$ なので、$x \, dx = \frac{1}{2} dt$ となります。したがって、

$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{t} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln |t| + C = \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

よって、

$\int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

3. 最終的な答え

$\int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$