与えられた三角関数の方程式について、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲での解を求め、さらに$\theta$の範囲に制限がないときの解を求めます。 問題は以下の３つです。 (1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ (3) $\tan \theta = \sqrt{3}$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の方程式について、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲での解を求め、さらに$\theta$の範囲に制限がないときの解を求めます。 問題は以下の３つです。

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) $\tan \theta = \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ の場合:

$0 \le \theta < 2\pi$の範囲では、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす$\theta$は $\frac{\pi}{3}$と $\frac{2\pi}{3}$です。

範囲に制限がないとき、$\theta = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ および $\theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ ($n$ は整数) が解となります。

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ の場合:

$0 \le \theta < 2\pi$の範囲では、$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$を満たす$\theta$は $\frac{3\pi}{4}$と $\frac{5\pi}{4}$です。

範囲に制限がないとき、$\theta = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$ および $\theta = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ ($n$ は整数) が解となります。

(3) $\tan \theta = \sqrt{3}$ の場合:

$0 \le \theta < 2\pi$の範囲では、$\tan \theta = \sqrt{3}$を満たす$\theta$は $\frac{\pi}{3}$と $\frac{4\pi}{3}$です。

範囲に制限がないとき、$\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi$ ($n$ は整数) が解となります。これは$\frac{4\pi}{3}$の場合も包含します。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、 $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

制限がないとき、 $\theta = \frac{\pi}{3} + 2n\pi, \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ ($n$は整数)

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$:

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、 $\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

制限がないとき、 $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi, \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ ($n$は整数)

(3) $\tan \theta = \sqrt{3}$:

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、 $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

制限がないとき、 $\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi$ ($n$は整数)