媒介変数表示された曲線 $x(t) = 3\cos t - \cos 3t$、 $y(t) = 3\sin t + \sin 3t$ の、$0 \le t \le \pi$ における長さを求める。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x(t) = 3\cos t - \cos 3t$、 $y(t) = 3\sin t + \sin 3t$ の、$0 \le t \le \pi$ における長さを求める。

2. 解き方の手順

曲線の長さは、以下の公式で計算できます。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

まず、$x(t)$と$y(t)$を$t$で微分します。

$\frac{dx}{dt} = -3\sin t + 3\sin 3t$

$\frac{dy}{dt} = 3\cos t + 3\cos 3t$

次に、$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2$を計算します。

$(\frac{dx}{dt})^2 = (-3\sin t + 3\sin 3t)^2 = 9\sin^2 t - 18\sin t \sin 3t + 9\sin^2 3t$

$(\frac{dy}{dt})^2 = (3\cos t + 3\cos 3t)^2 = 9\cos^2 t + 18\cos t \cos 3t + 9\cos^2 3t$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = 9(\sin^2 t + \cos^2 t) + 9(\sin^2 3t + \cos^2 3t) + 18(\cos t \cos 3t - \sin t \sin 3t)$

$= 9(1) + 9(1) + 18\cos(t+3t) = 18 + 18\cos 4t = 18(1 + \cos 4t)$

ここで、三角関数の倍角公式 $1 + \cos 2\theta = 2\cos^2 \theta$ を用いると、

$1 + \cos 4t = 2\cos^2 2t$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = 18(2\cos^2 2t) = 36\cos^2 2t$

したがって、

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{36\cos^2 2t} = 6|\cos 2t|$

曲線の長さは、

$L = \int_{0}^{\pi} 6|\cos 2t| dt$

$0 \le t \le \pi$において、$2t$は、$0 \le 2t \le 2\pi$まで変化します。$\cos 2t$は、$0 \le 2t \le \frac{\pi}{2}$ と $\frac{3\pi}{2} \le 2t \le 2\pi$ で正であり、$\frac{\pi}{2} \le 2t \le \frac{3\pi}{2}$で負です。つまり、$0 \le t \le \frac{\pi}{4}$ と $\frac{3\pi}{4} \le t \le \pi$ で正であり、$\frac{\pi}{4} \le t \le \frac{3\pi}{4}$ で負です。対称性より、

$L = 6 \int_{0}^{\pi} |\cos 2t| dt = 6 \cdot 4 \int_{0}^{\pi/4} \cos 2t dt$

$= 24 [\frac{1}{2}\sin 2t]_{0}^{\pi/4} = 12(\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0) = 12(1 - 0) = 12$

3. 最終的な答え

12