数列 $\{b_n\}$ があり、初項が $b_1 = 2$ であり、漸化式が $b_{n+1} = 1 + \log(1 + b_n)$ で定義される。この数列の極限 $\lim_{n \to \infty} b_n$ が存在することを示し、その値を求めよ。ただし、対数の底は自然対数とする。

1. 問題の内容

数列 $\{b_n\}$ があり、初項が $b_1 = 2$ であり、漸化式が $b_{n+1} = 1 + \log(1 + b_n)$ で定義される。この数列の極限 $\lim_{n \to \infty} b_n$ が存在することを示し、その値を求めよ。ただし、対数の底は自然対数とする。

2. 解き方の手順

(1) 極限が存在すると仮定し、その値を $L$ とおく。つまり、

$$L = \lim_{n \to \infty} b_n$$

(2) 漸化式において、$n \to \infty$ の極限を取ると、

$$\lim_{n \to \infty} b_{n+1} = \lim_{n \to \infty} (1 + \log(1 + b_n))$$

$$L = 1 + \log(1 + L)$$

(3) この方程式を解く。

$$L - 1 = \log(1 + L)$$

$$e^{L-1} = 1 + L$$

(4) $f(L) = e^{L-1} - (1 + L)$ とおくと、$f(0) = e^{-1} - 1 < 0$, $f(1) = e^0 - 2 = -1 < 0$ および $f(2) = e^1 - 3 = e - 3 < 0$。また、$f'(L) = e^{L-1} - 1$ となり、$L > 1$ のとき $f'(L) > 0$、$L < 1$ のとき $f'(L) < 0$。特に、$L=0$ のとき、$f(L) = e^{-1}-1$である。$L=0$は解ではない。ここで、$e^{x} = 1+x+\frac{x^2}{2!} + ...$ であるから、$e^{L-1} = 1 + (L-1) + \frac{(L-1)^2}{2!} + \cdots$ となり、$L=1$ を代入すると、$e^{1-1} = 1$ かつ $1+L = 2$ となり、解ではない。

ただし、$f(x) = e^{x-1} - x - 1$ とすると、$f'(x) = e^{x-1} - 1$, $f''(x) = e^{x-1}$。$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1$ のときのみ。$f''(1) = 1 > 0$ なので $x = 1$ は極小値。$f(1) = e^{0} - 1 - 1 = 1 - 2 = -1$。

$f(0) = e^{-1} - 1$。$L-1 = 0$ より、$L=1$ が方程式の解となる。

(5) 単調性を示す。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} b_n = 1$