$\int x \arctan(x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int x \arctan(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = \arctan(x)$ と $dv = x dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{1+x^2} dx$ と $v = \int x dx = \frac{x^2}{2}$ となります。

したがって、

$\int x \arctan(x) dx = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$

$= \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx$

$= \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2} \int \frac{1+x^2-1}{1+x^2} dx$

$= \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx$

$= \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2} (x - \arctan(x)) + C$

$= \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan(x) + C$

$= \frac{1}{2} (x^2 + 1) \arctan(x) - \frac{x}{2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} (x^2 + 1) \arctan(x) - \frac{x}{2} + C$