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## 問題 4-1 の解答

解析学微分方程式2階微分方程式初期条件一般解斉次方程式特殊解
2025/7/30
## 問題 4-1 の解答
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1. 問題の内容

与えられた2階微分方程式の一般解 x(t)x(t) を求め、さらに、初期条件を満たす解を求める問題です。具体的には、以下の4つの微分方程式について解く必要があります。
(1) d2xdt2=2x−2t\frac{d^2x}{dt^2} = 2x - 2t, x(0)=2x(0) = 2, dxdt(0)=1\frac{dx}{dt}(0) = 1
(2) d2xdt2=x+2sin⁡t\frac{d^2x}{dt^2} = x + 2\sin t, x(0)=0x(0) = 0, dxdt(0)=0\frac{dx}{dt}(0) = 0
(3) d2xdt2=dxdt+e2t\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{dx}{dt} + e^{2t}, x(0)=0x(0) = 0, dxdt(0)=1\frac{dx}{dt}(0) = 1
(4) d2xdt2=−3dxdt−2x+5cos⁡t\frac{d^2x}{dt^2} = -3\frac{dx}{dt} - 2x + 5\cos t, x(0)=1x(0) = 1, dxdt(0)=2\frac{dx}{dt}(0) = 2
以下にそれぞれの解き方と答えを示します。
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2. 解き方の手順

**(1) d2xdt2=2x−2t\frac{d^2x}{dt^2} = 2x - 2t**

1. **斉次方程式の解:** 斉次方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} - 2x = 0$ を解く。特性方程式は $r^2 - 2 = 0$ であり、$r = \pm \sqrt{2}$ となる。したがって、斉次方程式の一般解は $x_h(t) = c_1e^{\sqrt{2}t} + c_2e^{-\sqrt{2}t}$。

2. **特殊解:** 非斉次項が $-2t$ なので、$x_p(t) = At + B$ と仮定する。$\frac{d^2x_p}{dt^2} = 0$ なので、$0 = 2(At + B) - 2t$。これから、$2A = 2$、 $2B = 0$。したがって、$A = 1$、$B = 0$ であり、$x_p(t) = t$。

3. **一般解:** 一般解は $x(t) = x_h(t) + x_p(t) = c_1e^{\sqrt{2}t} + c_2e^{-\sqrt{2}t} + t$。

4. **初期条件:** $x(0) = 2$ より、$c_1 + c_2 = 2$。$\frac{dx}{dt}(t) = \sqrt{2}c_1e^{\sqrt{2}t} - \sqrt{2}c_2e^{-\sqrt{2}t} + 1$。$\frac{dx}{dt}(0) = 1$ より、$\sqrt{2}c_1 - \sqrt{2}c_2 + 1 = 1$。したがって、$c_1 = c_2$。$c_1 + c_2 = 2$ より、$c_1 = c_2 = 1$。

5. **初期条件を満たす解:** $x(t) = e^{\sqrt{2}t} + e^{-\sqrt{2}t} + t$。

**(2) d2xdt2=x+2sin⁡t\frac{d^2x}{dt^2} = x + 2\sin t**

1. **斉次方程式の解:** 斉次方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} - x = 0$ を解く。特性方程式は $r^2 - 1 = 0$ であり、$r = \pm 1$ となる。したがって、斉次方程式の一般解は $x_h(t) = c_1e^{t} + c_2e^{-t}$。

2. **特殊解:** 非斉次項が $2\sin t$ なので、$x_p(t) = A\sin t + B\cos t$ と仮定する。$\frac{d^2x_p}{dt^2} = -A\sin t - B\cos t$。これを代入すると、$-A\sin t - B\cos t = A\sin t + B\cos t + 2\sin t$。これから、$-A = A + 2$、 $-B = B$。したがって、$A = -1$、$B = 0$ であり、$x_p(t) = -\sin t$。

3. **一般解:** 一般解は $x(t) = x_h(t) + x_p(t) = c_1e^{t} + c_2e^{-t} - \sin t$。

4. **初期条件:** $x(0) = 0$ より、$c_1 + c_2 = 0$。$\frac{dx}{dt}(t) = c_1e^{t} - c_2e^{-t} - \cos t$。$\frac{dx}{dt}(0) = 0$ より、$c_1 - c_2 - 1 = 0$。したがって、$c_1 - c_2 = 1$。$c_1 + c_2 = 0$ より、$c_1 = \frac{1}{2}$、$c_2 = -\frac{1}{2}$。

5. **初期条件を満たす解:** $x(t) = \frac{1}{2}e^{t} - \frac{1}{2}e^{-t} - \sin t = \sinh t - \sin t$。

**(3) d2xdt2=dxdt+e2t\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{dx}{dt} + e^{2t}**

1. **変数変換:** $v = \frac{dx}{dt}$ とおくと、$\frac{dv}{dt} = v + e^{2t}$。これは1階線形微分方程式。

2. **1階線形微分方程式を解く:** $\frac{dv}{dt} - v = e^{2t}$。積分因子は $e^{\int -1 dt} = e^{-t}$。両辺に $e^{-t}$ をかけると、$e^{-t}\frac{dv}{dt} - e^{-t}v = e^{t}$。$\frac{d}{dt}(e^{-t}v) = e^{t}$。積分すると、$e^{-t}v = e^{t} + C_1$。したがって、$v = e^{2t} + C_1e^{t}$。

3. **積分:** $v = \frac{dx}{dt} = e^{2t} + C_1e^{t}$。積分すると、$x(t) = \frac{1}{2}e^{2t} + C_1e^{t} + C_2$。

4. **初期条件:** $x(0) = 0$ より、$\frac{1}{2} + C_1 + C_2 = 0$。$\frac{dx}{dt}(0) = 1$ より、$1 + C_1 = 1$。したがって、$C_1 = 0$。$\frac{1}{2} + C_2 = 0$ より、$C_2 = -\frac{1}{2}$。

5. **初期条件を満たす解:** $x(t) = \frac{1}{2}e^{2t} - \frac{1}{2}$。

**(4) d2xdt2=−3dxdt−2x+5cos⁡t\frac{d^2x}{dt^2} = -3\frac{dx}{dt} - 2x + 5\cos t**

1. **斉次方程式:** $\frac{d^2x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} + 2x = 0$。特性方程式は $r^2 + 3r + 2 = 0$。$(r + 1)(r + 2) = 0$ より、$r = -1, -2$。斉次解は $x_h(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-2t}$。

2. **特殊解:** $x_p(t) = A\cos t + B\sin t$ と仮定する。$\frac{dx_p}{dt} = -A\sin t + B\cos t$、$\frac{d^2x_p}{dt^2} = -A\cos t - B\sin t$。

これらを代入すると、
−Acos⁡t−Bsin⁡t=−3(−Asin⁡t+Bcos⁡t)−2(Acos⁡t+Bsin⁡t)+5cos⁡t-A\cos t - B\sin t = -3(-A\sin t + B\cos t) - 2(A\cos t + B\sin t) + 5\cos t。
−Acos⁡t−Bsin⁡t=(3A−2B)sin⁡t+(−3B−2A)cos⁡t+5cos⁡t-A\cos t - B\sin t = (3A - 2B)\sin t + (-3B - 2A)\cos t + 5\cos t。
係数を比較すると、−B=3A−2B-B = 3A - 2B、 −A=−3B−2A+5-A = -3B - 2A + 5。
整理すると、3A=B3A = B、A−3B=5A - 3B = 5。A−9A=5A - 9A = 5 より、−8A=5-8A = 5、A=−58A = -\frac{5}{8}。B=3A=−158B = 3A = -\frac{15}{8}。
したがって、xp(t)=−58cos⁡t−158sin⁡tx_p(t) = -\frac{5}{8}\cos t - \frac{15}{8}\sin t。

3. **一般解:** $x(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-2t} -\frac{5}{8}\cos t - \frac{15}{8}\sin t$。

4. **初期条件:** $x(0) = 1$ より、$c_1 + c_2 - \frac{5}{8} = 1$、$c_1 + c_2 = \frac{13}{8}$。

dxdt(t)=−c1e−t−2c2e−2t+58sin⁡t−158cos⁡t\frac{dx}{dt}(t) = -c_1e^{-t} - 2c_2e^{-2t} + \frac{5}{8}\sin t - \frac{15}{8}\cos t。
dxdt(0)=2\frac{dx}{dt}(0) = 2 より、−c1−2c2−158=2-c_1 - 2c_2 - \frac{15}{8} = 2、−c1−2c2=318-c_1 - 2c_2 = \frac{31}{8}。
c1+c2=138c_1 + c_2 = \frac{13}{8} より、c1=138−c2c_1 = \frac{13}{8} - c_2。これを −c1−2c2=318-c_1 - 2c_2 = \frac{31}{8} に代入すると、
−138+c2−2c2=318-\frac{13}{8} + c_2 - 2c_2 = \frac{31}{8}、−c2=448-c_2 = \frac{44}{8}、c2=−112c_2 = -\frac{11}{2}。
c1=138−c2=138+448=578c_1 = \frac{13}{8} - c_2 = \frac{13}{8} + \frac{44}{8} = \frac{57}{8}。

5. **初期条件を満たす解:** $x(t) = \frac{57}{8}e^{-t} - \frac{11}{2}e^{-2t} -\frac{5}{8}\cos t - \frac{15}{8}\sin t$。

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3. 最終的な答え

(1) x(t)=e2t+e−2t+tx(t) = e^{\sqrt{2}t} + e^{-\sqrt{2}t} + t
(2) x(t)=sinh⁡t−sin⁡tx(t) = \sinh t - \sin t
(3) x(t)=12e2t−12x(t) = \frac{1}{2}e^{2t} - \frac{1}{2}
(4) x(t)=578e−t−112e−2t−58cos⁡t−158sin⁡tx(t) = \frac{57}{8}e^{-t} - \frac{11}{2}e^{-2t} -\frac{5}{8}\cos t - \frac{15}{8}\sin t

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