与えられた三角関数の式を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とします。 (1) $-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ (2) $2\sin\theta + 2\cos\theta$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とします。

(1) $-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$

(2) $2\sin\theta + 2\cos\theta$

2. 解き方の手順

三角関数の合成公式 $a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$ を利用します。ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ および $\alpha$ は $\cos\alpha = \frac{a}{r}$、$\sin\alpha = \frac{b}{r}$ を満たす角です。

(1) の場合：

$a = -1$、 $b = \sqrt{3}$ なので、

$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos\alpha = \frac{-1}{2}$、 $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{2}{3}\pi$

したがって、

$-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi)$

(2) の場合：

$a = 2$、 $b = 2$ なので、

$r = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\cos\alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$、 $\sin\alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{\pi}{4}$

したがって、

$2\sin\theta + 2\cos\theta = 2\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

3. 最終的な答え

(1) $2\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi)$

(2) $2\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$