関数 $y = 3^{\sin x}$ を $x$ で微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 3^{\sin x}$ を $x$ で微分せよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = 3^{\sin x}$ を微分するために、まず両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln(3^{\sin x})$

$\ln y = (\sin x) \ln 3$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分となり、右辺は積の微分となります。

$\frac{d}{dx} (\ln y) = \frac{d}{dx} ((\sin x) \ln 3)$

左辺は、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$

となります。

右辺は、$\ln 3$ が定数であることに注意すると、

$(\cos x) \ln 3$

となります。

したがって、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\cos x) \ln 3$

$\frac{dy}{dx} = y (\cos x) \ln 3$

最後に、$y = 3^{\sin x}$ を代入して、

$\frac{dy}{dx} = 3^{\sin x} (\cos x) \ln 3$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3^{\sin x} (\cos x) \ln 3$